(a)
(r) ψK(r)> - (r) (a) ψK(r)> = [(a)(r) - (r) (a)]ψK(r)>= 0. (1.20)
Поскольку равенство (1.20) выполняется для любого не равного нулю вектора ψK(r)> ≠ 0, то из (1.20) следует
[(a)(r) - (r) (a)]
= 0. (1.21)
Система собственных векторов является полной {ψK(r)>}, т.е. любую функцию f(r) можно однозначно представить в виде ряда
f(r) = 
ψKr)>, то равенство (1.21) справедливо, и для любой функции операторы (a),
(r)
коммутируют (a)(r) = (r) (a).
Далее воспользуемся свойством,
если оператор Гамильтона (r) и оператор (a)коммутируют,
то они имеют общие собственные векторы.
Это означает, что из условия
(r)
ψkr)> = εkψkr)> следует
(a) ψK(r)> = ψK(r+a)> = λK(a) ψK(r)>,
(1.22)
где λK(a) — собственное значение оператора трансляции (a),
являющиеся функцией вектора трансляции a.
Суммируя свойства (1.16) и (1.22), видим, что сдвиг собственной функции оператора Гамильтона на вектор трансляции ψK(r)>эквивалентен умножению этого вектора на функцию λK(a)
(a) ψK(r)> = ψK(r+a )> = λK(a) ψK(r)>,
(1.23)
Собственное значение оператора трансляции λK(a), как функцией вектора трансляции a обладает свойством
(a1+a2) ψK(r)> = (a1) λK(a2) ψK(r + a2)> = ψK(r + a1 + a2)> =
=λK(a1)λK(a2) ψK(r)>, т.е. имеет место
λK(a1 + a2) = λK(a1) + λK(a2). (1.24)
Поскольку собственные функции оператора Гамильтона нормированы на единицу, то из (1.22) следует, что собственное значение оператора трансляции λK(a) по модулю равно единице. Действительно
<ψK(r)ψK(r)> = <ψK(r+a )ψK(r+a )> =λK(a)*λK(a) = λK(a) 2= 1 и λK(a) = 1. (1.25)
Для нахождения явного вида функции λK(a) от вектора трансляции a имеем место функциональное уравнение (1.24), решение которого должно удовлетворять условию (1.25). Таким решением является функция
λK(a) =exp(iKa), (1.26)
где K
– вектор обратной решетки. Покажем, что вектор K 
B принадлежит зоне Бриллюэна обратной решетки. Последний
результат носит название теоремы Блоха (F. Bloch).
Действительно вектор K можно представить в виде суммы векторов трансляции q до ближайшего узла обратной решетки и вектораk из зоны Бриллюэна, построенной возле этого узла решетки (см. рис. 1.11)
λK(a) =exp(iKa)= exp(iqa)exp(ika), (1.27)
т.к. qa = 2π m (m, согласно (1.6), естьцелое число) и
exp(iqa) = 1.
Таким образом мы доказали, что имеет место
ψK(r+a) = ψK(r) exp(iKa). (1.28)
Из теоремы Блоха следует, что каждому значению энергии кристалла εk(k) соответствует вполне определенное значение вектора обратной решетки k, находящегося в зоне Бриллюэна – т.е. все возможные значения энергии распределены по зоне Бриллюэна εk(k). Далее будем использовать вектор обратной решетки K, принадлежащий зоне Бриллюэна.
Попробуем определить объем зоны Бриллюэна, приходящейся на каждое состояние в зоне.
1.2.5. Кристалл конечных размеров. Распределения по объему зоны Брллюэна
Рассмотрим теперь кристалл конечных размеров. Пусть в одномерном случае мы имеем дело с линейной цепочкой из p1 ячеек размером a1 , начало цепочки находится в точке x =0, а конец в точке x = l = p1a1. Тогда для любой функции, характеризующей свойства кристалла, должны выполняться периодические граничные условия
ψK(0) = ψK(l = p1a1), (1.29)
Условия (1.29) в литературе также носят названия условий Борна—Кармана (M. Born, T. Von Karman). С другой стороны значение функции в точке l = p1a1, можно рассматривать как сдвиг начальной точки x =0 на вектор трансляции p1a1. Тогда согласно теореме Блоха имеет место
ψK(p1a1)
= ψK(0)
.
(1.30)
Для выполнения (1.20) последний сомножитель в формуле (1.30) должен быть равным единице
= 1, (2.31)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.