Расчет статистических задач, страница 4

t= (x - ) / σ

m¹=, где i – это величина интервала.

X²_факт = Σ 

X²_факт=(1-1,14)² /1,14 + (7-6,41)² /6,41  + (15-14,36)² /14,36 + (10-12,8)² /12,8 + (7-4,54)² /4,54 = 0,017 + 0,054 + 0,028 + 0,6125 + 0,5412 = 1,23

X²_т = (p ; k) , где

      P=0,975

k=n-r-1=5-2-1=2

Смотрим по специальной таблице значение X²_ф=(0,975 ; 2) = 5,02

Вывод: сравнивая фактическое и теоретическое значения, видим, что фактическое меньше  теоретического, следовательно, теоретическое распределение подчиняется закону нормального распределения.

Критерий Колмогорова:

Для начала составим таблицу, где S_m это сумма эмпирических накопленных частот, S’_m это сумма теоретических накопленных частот. 

Sm	S’m	Sm-S’m
1	1.14	-0.14
8	7.55	0.45
23	21.91	1.09
33	34.71	-1.71
40	39,25	-0,75

λ = Д / √n

Д= max{ S_m-S’_m }=1.09

n = ∑m = 40

λ = 1.09/√40 = 1.09/6.32 = 0.17

По специальной таблице смотрим, какое значение p соответствует λ=0,17

Самое близкое λ=0,17, является λ=0,3  к , тогда p=1.

Вывод: С  вероятностью 100%   можно утверждать, что отклонение в частотах является несущественным, а фактическое распределение подчиняется законам нормального распределения.

Задание №2

Определить ошибки выборки по результатам предыдущей задачи (типический способ отбора) и определить необходимый объем выборки при заданной β.

P=0.975

β=0.7%

∆=t*, где

N=300

 n=70

t- коэффициент доверия, который определяется по специальной таблице, в зависимости от заданной вероятности.

t = 2,3

σ²=110,72

∆=2,3*√((110,72/70)*(1-70/300) ) = 2,3*√(1,58*(1-0,23)) = 2,8

Далее найдём среднюю генеральную совокупность

ˉx= x̃ ± Δ

 x̃= ∑x_i*m_i/∑m_i = (1950+1400) / (40+30) = 47,86

ˉx= 47,86 ± 2,8

Доверительный интервал:

45,06 ≤ ˉx ≤ 50,66

 β= Δ/x̃ *100%

 β= 2,8 / 47,86 *100% = 5.85%

Вывод: При объёме выборки в размере 70 студентов из 300 и заданной вероятности относительная ошибка выборки составляет 5,85%, из чего следует что объём выборки достаточно высок, так как β менее 12%.

Далее определим объём выборки, так чтобы, относительная ошибка выборки β была равна 0,7%

Для начала найдём абсолютную ошибку выборки

Δ= (x̃*β) /100

Δ= (47,86*0,7) /100 = 0,335

n= (t²* σ²*N)/(Δ²*N + t²* σ²)