Квантовая химия как наука. Математический аппарат в квантовой химии. Решение волнового уравнения для некоторых частных случаев одномерного движения частицы, страница 9

          Одномерный прямоугольный потенциальный барьер представлен на рис.1.1. В классической механике полная энергия частицы Е является суммой кинетической и потенциальной энергии и всегда постоянна. Если энергия частицы Е меньше величины потенциального барьера U₀, то частица не может иметь координаты 0 < x < l. В квантовой механике нет постулата постоянства полной энергии и полная энергия не является суммой кинетической и потенциальной энергий. Эти энергии даже не определяются одновременно. Кинетическая энергия – функция импульса, а потенциальная – функция координат. Полная энергия определяется как собственное значение оператора Гамильтона, а собственные значения волновой функции, описывающей состояние частицы, могут оказаться не равными нулю даже при значениях 0 < x < l, запрещённых классической механикой.

                        U

                       U₀

                                                                            X

                              0              l

Рис. 1.1. Прямоугольный потенциальный барьер.

Трём участкам рис. 1.1 соответствуют следующие уравнения Шредингера:

x  < 0                                  + E= 0;                                        

          0  x  l                            + (E - U₀)= 0;

          x >  l                                   + E= 0.

          Решения этих уравнений следующие:

          ;

          ;

          .

          Где , .

          В области потенциального барьера (0 < x < l) при 0 < E < U_o

          , где .

Поскольку l в  - действительная положительная величина, а волновая функция при  должна оставаться ограниченной, то очевидно, что коэффициент а следует выбрать равным нулю. Отсюда

          .                                                                   (1.35)

Т.к. вероятность обнаружить электрон при каком-либо значении x равна , то из последнего выражения видно, что в области 0 < x < l   ¹ 0 и чем больше х и U_o, тем вероятность нахождения там электрона ниже. В классической физике при E < U_o в области 0 < x < l вероятность нахождения электрона равна нолю.

Произведя необходимые математические действия, можно получить коэффициент прозрачности барьера D. Коэффициентом прозрачности барьера называется отношение величин токов прошедшей и падающей волн. Если падающая волна де Бройля , а прошедшая , то ток волны определяется выражением:. Отсюда

          .                                                      (1.36)

Из последнего уравнения видно, что чем выше и шире барьер, тем меньше коэффициент прозрачности.

          Приведённый расчёт хорошо описывает распад радиоактивных ядер.

          1.7.3. Линейный гармонический осциллятор.

          В классической механике линейный осциллятор совершает гармонические колебания по закону:

          ,

где  (k –жёсткость осциллятора, m – масса колеблющейся точки). При этом энергия осциллятора, оставаясь постоянной во времени, может быть суммой непрерывного ряда значений составляющих её компонент начиная от нуля:

          .                                  

          В квантовой механике состояние осциллятора описывается собственной функцией оператора Гамильтона или соответствующим уравнением Шредингера:

                или                                                          (1.37)

          .                                           (1.38)

Решив уравнение Шредингера, получают собственные функции гамильтониана (эти функции включают в себя полином Чебышева-Эрмита и имеют довольно громоздкий вид); затем  определяют собственные значения:

            при n = 0, 1, 2, 3, …,                                     (1.39)

где n – главное квантовое число. Таким образом, в квантовой механике энергия линейного гармонического осциллятора принимает дискретный ряд значений. Наименьшая энергия квантового осциллятора не равна нулю.

          1.8. Экспериментальное подтверждение дискретности динамических параметров микрочастиц. Эффект Зеемана.