Волновое уравнение для двух электронов. Методы решения волнового уравнения, страница 3

Однако желательно иметь более общую, математическую формулировку принципа исключения Паули. Для этого опишем спин электрона своей волновой функцией. Т.к. спин связан с вращением электрона вокруг своей оси и принимает два значения (±1/2), то введем две волновые функции a(j) и b(j), соответственно. Здесь j - угол поворота. При этом нет необходимости знать явный вид функций a(j) и b(j).

          Тогда полная волновая функция электрона будет представлять собой произведение орбитальной волновой функции на одну из спиновых:                    

Y(x;y;z)×a(j) или Y(x;y;z)×b(j).                                                    (3.1)

Эти функции описывают электрон в одном и том же состоянии, но с противоположным направлением спина. Двум электронам будут соответствовать две спиновые функции a(j₁) и a(j₂) (или в короткой записи - a(1) и a(2)). Полная спиновая волновая функция будет равна произведению двух подобных функций (спины независимы).

          Двум электронам соответствуют четыре спиновые волновые функции:

          - симметричные: a(1)a(2); b(1)b(2); a(1)b(2) + a(2)b(1);

          - антисимметричная: a(1)b(2) - a(2)b(1).

Полный спин для последних четырех функций будет таковым:

a(1)a(2) –  +1; a(1)b(2) + a(2)b(1) – 0;

b(1)b(2) – -1;  a(1)b(2) -a(2)b(1) –  0.

          Обычно первые три волновые функции относят к триплетному состоянию (+1, 0, -1), а последнюю – к синглету.

          Напишем теперь все произведения орбитальных волновых функций 2.9 и 2.10 на спиновые 3.2-3.5.

                                                    ì a(1)a(2)                                  а

 [Y₁(1) ×Y₂(2) + Y₁(2) ×Y₂(1)] ´ íb(1)b(2)                                   б

                                                    îa(1)b(2) + a(2)b(1)                 в

 [Y₁(1) ×Y₂(2) + Y₁(2) ×Y₂(1)]´[a(1)b(2) -a(2)b(1)]                   г

                                                 ì a(1)a(2)                                      д

[Y₁(1) ×Y₂(2) - Y₁(2) ×Y₂(1)]´í b(1)b(2)                                     е

                                                 î a(1)b(2) + a(2)b(1)                   ж   

 [Y₁(1) ×Y(2) - Y₁(2) ×Y₂(1)] ´[a(1)b(2) -a(2)b(1)]                   з

Из представленных полных волновых функций а, б, в и з - симметричные функции, а г, д, е и ж - антисимметричные. Если оба электрона находятся на одной орбите (номера 1 = 2), то функции а, б и в не подходят по принципу Паули (одинаковые спины на одной орбите). Антисимметричные волновые функции д, е, ж и симметричная з при индексах 1 = 2 становятся равными нулю. Т.о. подходящей функцией для описания системы с двумя электронами, учитывающими их орбитальное и спиновое состояние, остаётся только антисимметричная г. Поэтому принцип исключения Паули в математической форме можно сформулировать следующим образом:

          Полная волновая функция двух (или более) электронов всегда антисимметрична относительно этих электронов.

          Такая формулировка принципа исключения справедлива и при учете взаимодействия между электронами. Общая формулировка принципа исключения для элементарных частиц дана Дираком и находится в полном соответствии с экспериментальными данными. В соответствии с этим постулатом фермионы - частицы с получисленным спином (n + 1/2) (электроны, протоны, нейтроны - статистика Ферми-Дирака) описываются только антисимметричными полными волновыми функциями. Для бозонов - частиц с целым спином n (a-частицы, фотоны, некоторые мезоны - статистика Бозе-Эйнштейна) возможны только симметричные полные волновые функции.

          Интересно заметить, что если бы не выполнялся принцип исключения Паули, то ни одно вещество не могло бы быть твёрдым.

Лекция 5

4.  МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ