Волновое уравнение для двух электронов. Методы решения волнового уравнения

Страницы работы

Содержание работы

Лекция 4

2.  ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДВУХ ЭЛЕКТРОНОВ

          2.1. Приближённое решение волнового уравнения для атома с двумя электронами.

При точной записи и решении волнового уравнения для атомов и молекул необходимо учитывать не только движение электронов, но и ядер. Однако, как показывают расчёты, из-за их огромной массы по отношению к массе электронов, движение ядер можно не учитывать. Такой подход называется адиабатическим приближением или приближением Борна-Оппенгеймера. Далее и всегда мы будем рассматривать уравнение Шредингера для системы, состоящей только из электронов.

          Движение одного электрона в потенциальном поле (V) описывается следующим волновым уравнением:

.                                                                              (2.1)

Для описания более сложных атомов необходимо обобщить уравнение 2.1 так, чтобы оно описывало состояние двух и более электронов. Новое уравнение должно учитывать взаимодействие электронов с ядром и между собой, а также независимость  друг от друга положения электронов. В случае двух электронов новая волновая функция будет зависеть от координат обоих электронов Y(x1,y1,z1, x2,y2,z2). Потенциальная энергия системы будет суммой потенциальных энергий каждого электрона по отношению к ядру и энергией их взаимодействия между собой: V = V1(x1,y1,z1) + V2(x2,y2,z2) + V12. V1 и V2 выражаются аналогичными функциями V1 = eZe/r1 и V2 = eZe/r2, а V12 = e2/ r12 (энергия взаимного отталкивания электронов) будет зависеть от расстояния между электронами (r12).

          Таким образом волновое уравнение для двух электронов можно записать  в следующем виде:

                          Ñ12Y + Ñ22Y +  (E - V1 - V2 -)Y = 0.                         (2.2)

Y2(x1,y1,z1, x2,y2,z2) - вероятность найти электрон № 1 в точке (x1,y1,z1) и электрон № 2 в точке (x2,y2,z2).

Точное решение уравнения 2.2 получить нельзя, т.к. в него входит неопределенная переменная r12. Для решения уравнения можно пренебречь переменной . В этом случае каждый электрон будет находиться на определенных уровнях независимо от того, какой уровень занимает другой электрон. Если электроны занимают уровни 1 и 2, то полная энергия системы Е = Е1 + Е2. Такое значение мы получим, решая ур.2.2.

          Решение уравнения 2.2 будем искать в виде сложной волновой функции

                                                                                          (2.3)

или для упрощения записи  Y = Y(1) ×Y(2), где Y(1) = Y(x1;y1;z1) зависит только от координат первого электрона, а Y(2) – только от координат второго электрона. Ñ12 действует только на Y(1), а Ñ22 - на Y(2).

        (2.4)

       (2.4*)

Состояние системы с электроном с № 1 будет удовлетворять уравнению:

          ;                                                                   (2.5)

 или      .                                                         (2.5*)

Соответственно и для электрона № 2:

;                                                                   (2.6)

или      .                                                        (2.6*)

Заменяя левые выражения из ур.2.4* на соответствующие правые выражения из ур.2.5* и 2.6*, получим Е = Е1 + Е2.

          Т.о. при отсутствии взаимодействия между электронами (V12 = 0) произведение двух волновых функций для одного электрона Y = Y(1) ×Y(2) будет решением волнового уравнения для двух электронов, а энергия всей системы представляет собой сумму энергий каждого отдельного электрона. Однако следует заметить, что

          1. Точное решение было получено благодаря пренебрежению взаимодействием электронов.

          2. Использованная волновая функция не является функцией в 3-мерном пространстве. Функция Y(x1,y1,z1, x2,y2,z2) может быть представлена только в 6-мерном пространстве (в общем случае для n электронов в 3n-мерном пространстве). Это обстоятельство еще раз указывает на то, что Y не отражает какие-либо реальные характеристики электрона, а служит лишь для описания движения двух электронов. Функция в пространстве шести измерений не может быть исследована экспериментально.

          2.2 Обменное вырождение.

          Решение 2.3 волнового уравнения 2.2 без учета взаимодействия между электронами описывает такое состояние системы, при котором один электрон находится в состоянии 1, а другой в состоянии 2. Решение 2.3 не единственное. Из-за неразличимости электронов № 1 и № 2 решением ур.2.2 будет и функция:

.                                                                                   (2.7)

Похожие материалы

Информация о работе