Поля. Алгебраические операции для элементов поля. Комплексное число. Алгебраическая форма записи комплексного числа, страница 8

Док-во: пусть K есть прям. сум. подпр-в L1,…, Lm и векторы e1,…,es(1);…; es(m-1)+1,…,es(m) составляют базисы этих подпр-в. Тогда для люб. век. x из K имеет место разложение x=x1+x2+…+xm. Представив кажд. вектор xi в виде разложения по базису соответств. подпр-ва Li, получвим, что x=a1e1+…+as(1)es(1)+…+as(m-1)+1es(m-1)+1+…+as(m)es(m)(1)для нек. чисел a1,…, as(m). Таким образом, кажд. век. из K может представить в виде лин. комб. век. e1,…,es(m). Для того чтобы утв., что эти век. сост. базис пр-ва K, остается д-ть их л/н. Рассмотр рав-во β1e1+…+βs(1)es(1)+…+βs(m-1)+1es(m-1)+1+…+βs(m)es(m)=0(2) с числовыми коэффиц. β1,…,βs(m) и обознач. {β1e1+…+βs(1)es(1)=y1,…, βs(m-1)+1es(m-1)+1+…+βs(m)es(m)=ym(3). Очевидно, что ymÎLi, а из (2)=>0=y1+…+ ym. Все подпр-ва содержат нулевой век., поэтому заведомо справедливо соотнош. 0=0+…+0. В силу единственности разлож. нулевого век. из K по подпр-вам L1,…, Lm заключаем, что y1=…= ym=0. Отсюда вытекает равенство 0 всех коэффиц. лин. комб.(3), т.е. л/н век-ов e1,…,es(m). Предполож., что век. e1,…,es(1);…; es(m-1)+1,…,es(m), составл. базисы подпр-в L1,…, Lm образуют базис K. Тогда для люб. век. x из K имеет место единств. разлож. (1). Обозначив {a1e1+…+as(1)es(1)=x1,…,as(m-1)+1es(m-1)+1+…+as(m)es(m)=xm(4), мы получ., что для x сущ. по крайней мере одно разложение x=x1+x2+…+xm. Кажд. век. xi из (4) есть лин. комб. базисных векторов Li. В силу единственности разложения (1) для век. x заключаем и о единственности для него разлож. x=x1+x2+…+xm.

Теорема№2: Для того, чтобы сумма двух подпространств была прямой необходимо и достаточно, чтобы пересечение этих подпространств было нулевым

Теорема№3: Размерность прямой суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств

Теорема№4: Если размерность суммы линейных подпространств равна сумме их размерностей, то сумма прямая

Изоморфизм линейных пространств:

Пространства, устроенные одинаково по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число будем считать обладающими одинаковыми свойствами или изоморфными.

Два линейных пространства L и L’ заданные над одним и тем же полем F называются изоморфными, если между векторами xÎL и xÎL’ можно установить взаимнооднозначное соответствие такое, что если вектору x соответствует x’, а y <–> y’, то

1)  (x+y) <-> (x’+y’)

2)  (x+y)’<-> x’+y’

3)  λx <-> λx’

4)  (λx)’<->λx’

Свойства изоморфизма: L<->L’

1)  При изоморфизме qÎL переходит в q’ÎL’

2)  Линейно независимая система векторов в L переходит в линейно независимую систему векторов в L’

Теорема изоморфизма: Все конечномерные пространства, заданные над одним и тем же полем, изоморфны, если и только если они имеют одинаковую размерность.

Д-во: пусть K и K’ – 2 лин. пр-ва размерности n. Выберем к.-л. базис e1,…,en в пр-ве K и базис e’1,…,e’n в пр-ве K’. С помощью этих сист. век. построим след. образом изоморфизм w. Кажд. век. x=a1e1+…+anen пр-ва. K поставим в соответств. век. w(x)=a1e’1+…+ane’n пр-ва K’. Установлен. соответств. будет взаимно однозначным, т.к. разлож. по базису единственно. Возьмем 2 люб. век. x и y из K и произвольн. число l и предположим, что x=a1e1+…+anen, y=β1e1+…+βnen. Имеем w(x+y)= w((a11)e1+…+(ann)en)=(a11)e’1+…+(ann)e’n=(a1e’1+…+ane’n)+(β1e’1+…+βne’n)= w(x)+w(y); w(lx)=w((la1)e1+…+(lan)en)=(la1)e’1+…+(lan)e’n=l(a1e’1+…+ane’n)= lw(x). Полученные рав-ва и док-ют справедливость утв. теоремы.

Рангматрицы

Будем рассматривать различные миноры k-го порядка, т.е. определитель подматриц, образованных из элементов стоящих на пересечении k-строк и k-столбцов матрицы  k<=min (n,m)

Предположим, что хотя бы один элемент aij матрицы A отличен от нуля.

Рангом матрицы A называется такое натуральное число r, что:

1)  Матрица A имеет минор порядка r не равный нулю

2)  Всякий минор (r+1)-го порядка матрицы A равен нулю

Если A – нулевая, то rgA=0