Расчет элементов металлоконструкции на статическое и динамическое нагружение, страница 11

q = w*hmin/3=332,8*5/3=554,67 Н/м

Из таблицы 3 приложения 6 [1] выбираем швеллер № 12

7. Расчет собственных частот и форм колебаний конструкции.

Определение собственных частот и форм колебаний  конечно-элементной модели конструкции  производится решением нестандартной задачи на собственные значения [4].

w=0 ,где                                      (7.1)

[K] - глобальная матрица жесткости;

[M]=[M] + [M],

[M] - диагональная матрица масс системы, учитывающая сосредоточенные массы и их моменты инерции;

[M] -матрица масс системы, учитывающая распределенную (собственную) массу элементов;

w- спектр собственных частот (i=1,2,…,n);

{U}- собственный вектор (нормированная форма колебаний системы на i-ой частоте);

Формирование глобальной матрицы [M] осуществляется аналогично матрице [K] в методе конечных элементов  через коэффициенты локальной матрицы [M].

Представляя кинетическую энергию одного КЭ через квадратичную форму

Т = 0,5ëû

локальная матрица масс (инерции) будет иметь вид (приводится для плоского случая):

 [Me] = m

            Собственные частоты и соответствующие им моды (формы) колебаний для систем с числом степеней свободы n > 500 целесообразно определять методом ортогонального спуска, который в отличии от метода обратных итераций [5] обладает лучшей сходимостью при определении низких, менее 1гц, собственных частот.

            В конечномерной постановке задача формулируется как

[K] {u}i = li [M] {u}i ,                                        (7.2)

где      li = wi2 - квадрат собственной частоты (i=1,2,...);

{u}i - собственный вектор (форма колебаний) для i-ой частоты.

Итерационный процесс необходимо строить с учетом ортогональности собственных векторов, найденных на предшествующих итерациях ({u}, {u},…, и т.д.), а именно

        (7.3)

Задаваясь на первой итерации (n=1) произвольным вектором {X1}, определяется вектор {Z1} по соотношению (7.3). Затем решается система

[K] {y} = {Z} ,

в которой норма от найденных обобщенных перемещений ½½yn+1½½ равна l-1 при выполнении условия

½½yn+1½½ - ½½yn½½ < EPS.

Собственный вектор для найденной частоты по завершении итерационного процесса определяется как

{u}1={y1} / ½½y1½½.

Затем процесс повторяется, но уже с учетом {u}1 в (7.3).

При задании EPS=10-16, ошибка в определении первых пяти собственных частот не превышает (1…3)%.

          Определение   собственных  частот  и  мод  колебаний  объекта  «в  лете», то есть  не имеющего  точек  закрепления   в  пространстве,  связано   с  рядом  особенностей   ввиду  вырождения  в   этом  случае  описанных  выше  матриц  жесткости  и   инерции.

          Уравнение  (7.2)  преобразуется  к  виду:

                                                                      [А] {u}i = li [M] {u}i ,  (1.7), 

                                            где   [А] =[ К] -σ [M], 

                                            σ- сдвиг (некое  произвольное  положительное  число).

          Искомая   собственная  частота    wi2 = li + σ.  [3,9].

          Для   ускорения  сходимости  и  локализации  собственных  значений  в  определенных  пределах   используется   метод  биссекции  [6].

Нахождение собственных частот и форм колебаний конструкции осуществляется программой sobs03.

7.1. Результаты расчетов.

Рис.15  1 форма . f= 1,355 Гц

Рис.16   2 форма. f= 1,915 Гц

Рис.17   3 форма. f= 1,961 Гц

Рис.18   4 форма. f= 2,093 Гц

Рис.19   5 форма. f= 2,344 Гц

8. Расчет конструкции на сейсмическое воздействие.

Сейсмичность  площадки  -  интенсивность  возможных сейсмических  воздействий.

Устанавливается  в соответствии  с  картами  сейсмического  районирования, измеряется в