Расчет элементов металлоконструкции на статическое и динамическое нагружение, страница 4

                                      z                                                                 X              

 Z                                                                  Рис.9

  Вычисление коэффициентов глобальной матрицы жесткости [K] производится по общим правилам МКЭ [3-6].

 , где                                           (4.2.1.2)

  - коэффициент локальной матрицы жесткости прямолинейного элемента, произвольно ориентированного в глобальной (общей) системе координат (рис.9);

ij (IJ) - номера обобщенных перемещений в локальной (они же в глобальной) системе отсчета, одновременно принадлежащие хотя бы одному элементу; n- число КЭ, которые одновременно имеют оба (I и J) перемещения.

            Связь между локальной матрицей жесткости КЭ, произвольно ориентированного в глобальной системе отсчета XYZ, с матрицей жесткости того же элемента в локальной системе отсчета xyz [ke], осуществляется через матрицу направляющих косинусов [L] в соответствии с зависимостью

                                             (4.2.1.3)

            Каждый коэффициент локальной матрицы жесткости kije представляет собой силу (или реакцию), возникающую в i – ом направлении при единичном смещении в j – ом направлении. Полная матрица жесткости является симметричной и содержит следующие, отличные от нуля, коэффициенты:

          ke11 = - ke17 = ke77 = - ke71 =EF/L ;

          ke22 = - ke28 = ke88 = - ke82 =12 EFz /L3 ;

          ke26 = ke2.12 = ke6.2 = ke12.6 = - ke6.8 = - ke8.6 = - ke8.12 = ke12.8 = 6 EI z / L2;

          ke3.3 = ke9.9 = - ke3.9 = - ke9.3 = 12 EI y / L3;

          ke3.3 = ke3.11 = - ke9.11 = - ke11.9 = ke11.3 = ke5.3 = - ke9.11 = - ke11.9 = 6 EI y / L2;

          ke4.4 = - ke4.10 = - ke10.4 = ke10.10 =GI x / L;

          ke5.5 = ke11.11 = 4EI y / L;     ke6.6 = ke12.12 = 4 EI z / L;

            ke5.11 = ke11.5 = 2EI y / L;     ke6.12 = ke12.6 = 2 EI z / L;

где      L – длина элемента;

E, G – соответственно, модуль упругости и сдвига;

F – площадь сечения;

Ix, Iy, Iz – моменты инерции поперечного сечения элемента относительно главных центральных осей.

Сформировав глобальную матрицу жесткости стержневой системы и зная вектор внешних сил {P}, обобщенные перемещения в глобальной системе отсчета определяются решением системы линейных уравнений (4.2.1.1).

Затем, выбирая из столбца {D} только те, которые относятся к одному

КЭ {D}®{}, осуществляется переход к локальным перемещениям базового элемента (рис.10).

{De} = [L]T {}.

                                                 y,Y

 


                                     5       2                                                        8

                                                                                              11

                          1                                                                                     7   x,X

                             6                                                                            10

                                             4                                                       12

                            z,Z      3                                               9

                                                               Рис.10

По найденным перемещениям {De} и известной матрице жесткости элемента [ke] определяются внутренние усилия, действующие в концевых сечениях элемента:

{Pе} = [kе] {}.

Нумерация и положительное направление этих усилий соответствуют обозначениям рис.10

Дальнейший расчет напряжений, возникающих в каждом элементе cистемы, осуществляется по правилам расчета на сложное сопротивление.

4.2.2. Исходные данные программы stud03

     5    1

    69   23

          DY