Методы ана­лиза напряжений в конструкциях с учетом деформаций ползучести, страница 23

= Л/

(9.7)

77

Вид функций /. . и g можно конкретизировать, используя, например, урав­нения (9.4). Уравнения (9.7) решают с начальными условиями е. .(0) = О, <в(0) = 0, которые должны выполняться во всех точках тела.

Как и ранее, аЯ. - эквивалентные упругие напряжения, R . . - тензор­ный оператор над полем остаточных напряжений.

Приведенные уравнения применимы до момента времени «t , когда в те­ле впервые возникают разрушенные зоны. Деформации ползучести, накоп­ленные к началу разрушения, будем обозначать через « | . , поврежденность через ш1 .

9.4.1.2 Стадия распространения разрушения

После возникновения зоны разрушения фронт разрушения, являющийся границей области VV% , будет продвигаться по телу. В этом случае, вы­ражаясь языком математики, возникает так называемая "задача Коши с подвижной границей". Формально ее можно записать в виде задачи Коши в области V - V-   для системы уравнений

с начальными условиями »£ (tl ) = ej. , co(tj) = a} . Поскольку фронт разру­шения движется, задачи для эквивалентных и остаточных напряжений следует переформулировать, рассматривая мгновенную конфигурацию неразрушен­ной подобласти исследуемого тела. Пусть о* - эквивалентные упругие напря­жения в области V - V^, Rf, — остаточные упругие напряжения, соответст­вующие заданным деформациям ползучести в той же области V — У% . Для задач об определении этих полей напряжений необходимо установить соот­ветствующие граничные условия, позволяющие учесть наличие зон разруше­ния; конкретный вид данных условий зависит от особенностей исследуемой проблемы.

Каким будет Движение фронта разрушения, заранее оказать нельзя — все зависит как от принятой модели поведения материала, так и от уровня и характера распределения нагрузки. Именно по этой причине приходится

264

Глава 9.Разрушение при ползучести

9.5. Разрушение при ползучести толстостенной трубы

265

прослеживать всю историю деформирования тела; сделать это можно, разу­меется, только численными методами.

9.4.2. Численное решение задач теории разрушения сплошной среды

Численные методы, описание которых было дано в гл. 7, в целом приме­нимы и к задачам механики разрушения. Как формулировки задач для чис­ленного решения, так и различные этапы их решения вполне аналогичны тем, о которых шла речь при исследовании многостержневой системы. Заметим, что наиболее широко используемые методы решения задач механики сплош­ной среды — метод конечных элементов и метод конечных разностей — со­держат (в качестве этапа) определенный способ Дискретизации по прост­ранственным переменным. В теории ползучести, как было показано на при­мере многих задач, после дискретизации по пространству мы приходим к системе конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений. На стадии скрытого разрушения (до начала разрушения), как и ранее, решается полная система уравнений. Если дискретная область разрушения увеличива­ется, число уравнений в системе уменьшается, формулируется задача для новой сис­темы и возобновляется процедура решения, которая продолжается до тех пор, пока не возникают новые зоны разрушения, и т.д. Таким образом, при реализации данного подхода необходимо последовательно решать системы Уравнений, размерность которых постепенно уменьшается. Представляется очевидным, что задачи Коши для этих уравнений могут оказаться жесткими, и, следовательно, для их решения лучше всего Подходят специальные мето­ды (хотя это, как было отмечено в разд. 7.4, вовсе не обязательно). Опыт, приобретенный при исследовании многостержневой конструкции, говорит о том, что с приближением момента разрушения процессы изменения напря­жений и деформаций могут протекать чрезвычайно быстро — именно по этой причине шаг по времени здесь приходится уменьшать. Как уже отмечалось, шаг по времени нужно выбирать из тех соображений, чтобы критерий разру­шения на текущем шаге не достигался; отмечалось также, что на практике точно удовлетворить условию разрушения невозможно. Для преодоления ука­занных трудностей необходимо уменьшать шаг по времени при подходе к ло­кальному разрушению. Это можно сделать, проверяя, выполнено ли условие разрушения (со= 1) на текущем шаге; при выполнении данного условия чис­ленный алгоритм пошагового интегрирования должен автоматически вернуть­ся к началу шага и уменьшить длину шага (например, вдвое). Описанная про­цедура продолжается до тех пор, пока не достигается заранее заданное зна­чение поврежденности, скажем со = 0,99. В сложных задачах такой путь мо­жет потребовать очень большого количества шагов для прохождения времен­ного интервала, непосредственно предшествующего разрушению. Умен^иить число шагов можно путем снижения верхнего предела допустимых значений параметра поврежденности.