Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 15

.

 сравним с  , который, очевидно, сходится.

.

 сравним с , который  сходится при  и расходится при

.

Следовательно,

3.2.2. Сходимость интегралов

от  знаконеопределенных функций

Признак Абеля

Теорема: Пусть  и  определены на   и обладают свойствами:

1) - непрерывна и  - сходится;

2)  - непрерывно – дифференцируема, ограничена, монотонна.

 Тогда  - сходится.

              Доказательство:

Из ограниченности функции  следует, что . Из сходимости  следует, что

.

Имеем при

{по второй теореме о среднем}

.

Тогда по критерию Коши  - сходится.

€

Признак Дирихле       

Теорема: Пусть  и  определены на   и обладают свойствами:

1) - непрерывна и ,  - ограниченная   функция от ;

2)  - непрерывно дифференцируема на , монотонна и .

 Тогда   - сходится.

Доказательство:

Пусть все интегралы   .

Тогда

.

По  условию     .

Пусть . Тогда

{по второй теореме о среднем}

и по критерию Коши  - сходится.

€

              Замечание: Можно показать, что признак Абеля является следствием признака Дирихле.

              Примеры:

1.  Исследовать на сходимость интеграл .

Решение

Пусть , .

 монотонно убывает и ,

.

Условия признака Дирихле выполнены, следовательно,

 - сходится.

2.  Исследовать на сходимость интеграл .

Решение

.

Из решения предыдущего примера  сходится.

Так как функция  непрерывна на , в точке  ее можно доопределить единицей, поскольку , а также она ограничена, то  существует.

Следовательно,  сходится.

3.3. Абсолютно  сходящиеся интегралы

              Теорема: Если несобственный интеграл  сходится, то сходится и .

              Доказательство:

              Если интеграл сходится, то в силу критерия Коши ,  .

              Но .

              Тогда по критерию Коши   - сходится.

€

Определение: Несобственный интеграл   называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Заметим, что обратная теорема не имеет места. Ранее мы показали, что  сходится, покажем, что  расходится.

Очевидно, .

.

 сходится по признаку Дирихле (доказательство аналогично доказательству для), а  - расходится.

Следовательно,  расходится, и по признаку сравнения расходится .

              Определение: В случае, если несобственный интеграл сходится, но не является абсолютно сходящимся, то говорят, что он сходится условно.

3.4. Главные значения несобственных интегралов

Пусть на  задана функция , имеющая особую точку  и интегрируема в каждой его части, не содержащей . Несобственный интеграл от  до  определяется равенством

при независимом предельном переходе по  и .

              Если этот предел не существует, то рассматривают предел того же выражения при . Если такой предел существует, то его называют (по примеру Коши) главным значением несобственного интеграла  и обозначают символом

V. p. .

V. p. – “Valeurprincipale” – “главное значение”.

              Заметим, что если  существует как несобственный, то он, очевидно, существует и в смысле главного значения; обратное, вообще говоря, неверно.

              Пример

  как несобственный не существует, так как  - не имеет определенного предела, если и , независимо друг от друга.

Если же , то - то получим выражение, не зависящее от . Таким образом, главное значение интеграла существует:

V. p. .

              Понятие главного значения можно распространить и на случай нескольких особых точек (конечного числа) внутри промежутка, а также на случай промежутка , не имеющего внутри особых точек

V. p. .


СОДЕРЖАНИЕ

1. Неопределенный интеграл. 4

1.1. Первообразная и неопределенный интеграл. 4

1.2. Основные свойства неопределенного интеграла. 4

1.3. Таблица основных неопределенных интегралов. 5

1.4. Основные методы интегрирования. 6

1.4.1. Метод замены переменной (подстановки) 6

1.4.2. Интегрирование по частям.. 8

1.5. Интегрирование рациональных дробей. 9

1.5.1. Разложение рациональной дроби на простейшие. 9

1.5.2. Интегрирование простейших дробей. 11

1.5.3. Метод Остроградского. 12