Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 13

Пусть задана кривая  и непересекающая ее прямая . Будем считать, что на кривой распределена масса с плотностью  (задана линейная плотность кривой)

Под линейной плотностью кривой понимаем предел

,

где – длина дуги, которой принадлежит т. ;

      – масса дуги . (при  дуга стягивается в точку ).

Найдём статический момент кривой относительно прямой.

Пусть  – произвольная точка кривой. Рассмотрим элементарную дугу длины , содержащую точку . Пусть масса этой дуги  и расстояние от точки   до прямой  равно .

Тогда                                

и

.

Зададим кривую  радиус - вектором  .

Тогда

.

Частные случаи:

1. Предположим, что кривая лежит на плоскости  и задана в параметрической форме , .

Тогда, очевидно,

;

.

2. Если кривая задана на плоскости  в явном виде , , , то

;

.

Определение: Центром масс системы материальных точек называется точка с координатами , такая, что если в ней сосредоточить всю массу системы, то статические моменты данной материальной точки относительно любой координатной плоскости равны соответствующим моментам системы.

                         

                    

                          

В развернутом виде

;    ;    .

2.15.11. Первая теорема Гульдина

Теорема: Площадь поверхности, полученной в результате вращения кривой вокруг непересекающей ее оси, равна произведению длины кривой на длину окружности, описанной центром тяжести кривой.

              Следовательно,    

   .

€

Пример. Найти координаты центра тяжести полуокружности радиуса .

Решение:

Очевидно .

Чтобы найти , воспользуемся теоремой Гульдина:

.

,  

.

Координаты центра тяжести полуокружности .

2.15.12. Статические моменты и центр масс

 плоской фигуры

Пусть дана фигура, ограниченная линиями , , ,. В этой фигуре распределена масса с поверхностной плотностью

, .

где  – часть (малая) фигуры, содержащая точку ;

       – максимальный диаметр площадки ;

       – масса  (при  площадка  стягивается в точку ).

Найдём статические моменты плоской фигуры относительно осей  и . Пусть . Разобьем фигуру на элементарные полоски и выделим элементарную полоску шириной  на расстоянии (см. рис.). Очевидно, центр масс этой полоски находится в точке  – пересечения диагоналей.

Тогда

и

.

.

Масса рассматриваемой фигуры, очевидно, равна

.

Если  - центр масс фигуры, то ,  

, .

Замечание: Объём тела, полученного в результате вращения фигуры вокруг оси  , равен

.

Тогда

      .

2.15.13.  Вторая теорема Гульдина

Теорема: Объём тела вращения фигуры вокруг непересекающей ее оси равен площади этой фигуры, умноженной на длину окружности, описываемой центром масс  фигуры.

Пример

Найти координаты центра тяжести полукруга радиуса .

Очевидно, .

По второй теореме Гульдина

.

.

Координаты центра тяжести круга .

Работа

Пример. Какую работу необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость из резервуара, имеющего форму параллелепипеда со сторонами .

  Пусть . На глубине  рассмотрим элементарный слой жидкости  толщиной .

Масса этого слоя  ,

а вес

.

 Элементарная работа по выкачиванию этого слоя будет равна

.

Вся работа .

3. Несобственные интегралы

Определение:Пусть функция  определена на ,  и интегрируема по Риману на отрезке  . Если  существует предел , то говорят, что функция  интегрируема в несобственном смысле на , а указанный предел называется ее несобственным интегралом и обозначается .

.

Если предел существует и конечен, то интеграл  - называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

При  говорят о несобственном интеграле 1 рода, при  конечном – о несобственном интеграле  2 рода.

 - 1 рода,

 { - неограниченна} - 2 рода.

Аналогично определяются и записываются интегралы с бесконечным нижним пределом и с конечным нижним пределом, но неограниченной в нем функции:

,

{ в точке - неограниченна},

.