Пакет аналитических вычислений Maple, страница 7

Существует ровно один многочлен, такой, что f(Λ_A) = r(Λ_A) и deg r < m, который определяется интерполяционными условиями:

Этот многочлен называется интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра. Тогда мы можем дать новое определение f(A).

Определение 7.2. Пусть функция f определена на спектре матрицы A, тогда f(A) = r(A), где r(λ) - интерполяционный многочлен Лагранжа-Cильвестра.

Свойства функции от матрицы:

1. Пусть λ₁,…, λ_n- все собственные значения матрицы A  C_n,n, тогда f(λ₁₎,…, f(λ_n)- собственные значения f(A).

2.  Пусть матрицы A и B подобны, причем B=  S^-1AS, тогда f(B) = S^-1f(A)S.

3. Если A = diag{A₁, …, A_k}, то f(A) = diag{f(A₁), …, f(A_k)}.

В пакете LinearAlgebra содержатся функции позволяющие вычислять различные функции от матриц. Рассмотрим эти функции.

Пример 7.1. Возвести матрицу A в степени 2 и 0,5, где A =

Пример 7.2. Найти е^A и е^Ax , где A =

Пример 7.3. Найти A², cos(A) и е^A, где A =

Глава 8

Матричные уравнения

8.1 Уравнение вида AХ=ХB

Рассмотрим матричное уравнение AX= XB, где ,,.

Теорема 8.1. Общее решение уравнения AX= XB, где , . ,,

может быть найдено по формуле: .

Где  - общее решение уравнения ,, , , .

Если , то , если  , то  - произвольная правильная верхняя треугольная матрица.

Матрица X зависит от N произвольных параметров , , где, , .

Пример 8.1. Решить матричное уравнение AX= XB,

где  A=  , B=

8.2 Уравнение вида AХ = ХA

Пусть дана матрица . Будем решать следующую задачу: найти все матрицы , перестановочные с A. Для этого необходимо найти общее решение уравнения AX= XA. Так как уравнение AX= XA является частным случаем уравнения AX= XB, то для его решения воспользуемся теоремой 8.1 и сформулируем новую теорему:

Теорема 8.2. Общее решения уравнения AX= XA, где , , 

может быть найдено по формуле: ,

Где  - общее решение уравнения ,, , .

Если , то , если  , то  - произвольная правильная верхняя треугольная матрица. Матрица X зависит от N произвольных параметров , , где, .

Пример 8.2. Решить матричное уравнение AX= XA, где A =

8.3 Решение уравнения AX – XB= C

Пусть дано уравнение AX – XB= C, где ,,. Это матричное уравнение эквивалентно системе m∙n линейных уравнений относительно элементов матрицы X.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение AX – XB= 0. Если матрицы A и B не имеют одинаковых собственных значений, то уравнение AX – XB=0 имеет единственное решение; если же матрицы A и B имеют одинаковые собственные значения, то в зависимости от C возможны два варианта:

1. Уравнение не имеет решения.

2. , где - произвольное частное решение уравнения AX-XB=C, - общее решение уравнения AX – XB= C.

Алгоритмизация данного типа уравнений отводится в качестве упражнения.

Глава 9

Нормы матриц

Определение 9.1. Неравенство A ≤  B  между  матрицами   A = [ а_ij]и   B =[ b_ij]одинаковых  типов   обозна­чает, что   а_ij  ≤b_ij .  В этом смысле   не   всякие  две матрицы сравнимы между собой.

Определение 9.2. Под абсолютной величиной (модулем)матрицы  A= [ а_ij ] будем понимать матрицу       |A| = [ | а_ij| ]

где |а_ij| — модули элементов матрицы A.

Если A и B— матрицы, для которых операции A + B  и AB имеют смысл, то:

 а) | A + B | ≤ | A | + | B |;

б) | A B | ≤ | A | · | B |;

в)  | α A | = | α | · | A |;              

(α — число).

Определение 9.3. Под нормой матрицы A = [ а_ij] понимается действительное число || A ||, удовлетворяющее условиям:

а)  || A|| ≥ 0, причем   ||A|| =0  тогда и только тогда, когда A = 0;

б)   || α A ||  = | α | ·  || A || (α — число)   и,   в   частности, || –A || = || A ||;

в)   || A + B || ≤ || A || + || B ||;

г)   || AB || ≤ || A || · || B ||;

 (A и B — матрицы,   для   которых   соответствующие операции имеют смысл).

В дальнейшем для матрицы   A = [ а_ij]произвольного типа мы будем рассматривать главным образом три легко вычисляемые нормы;

1)   || A ||_m  = | а_ij |       (т-норма);       

2)   || A ||_l   = | а_ij |        (l-норма);        

3) || A ||_k   =              (k -норма).

Далее представлены алгоритмы для нахождения нормы матрицы каждого вида:

Пример 9.1. Найти m-норму для матрицы A, где A =

Пример 9.2. Найти l-норму для матрицы A, где A =

       

Пример 9.3. Найти k-норму для матрицы A, где A =

Приложение 1

Генерация задач

Часто возникают проблемы с подготовкой контрольных и проверочных работ по данному курсу, что связано с недостатком имеющихся в учебных пособиях типовых заданий для индивидуальной работы группе студентов.

Используя Maple нетрудно решить эту проблему.

Возьмем, к примеру, наиболее легкий тип задач. Пусть у нас дана матрица A:

и необходимо найти собственные значения этой матрицы.

Решая поставленную задачу находим:

где этот столбец – вектор собственных значений, равных -1 кратности 3.

Необходимо растиражировать эту задачу, сохранив данные собственные значение и их кратность.