Пакет аналитических вычислений Maple, страница 3

<имя переменной>, <выражение2>, <последовательность операторов> - имеют равносильные определения, предложенные в первом формате конструкции.

<выражение1> - множество значений, которые принимает переменная.

Пример 1.10. Сумма элементов из множества {1, x, y, z², 5­}

Не стоит думать, что вышеперечисленными базисными конструкциями языка возможности Maple ограничиваются. Программирование в среде Maple также предусматривает чтение и запись данных в файл, создание собственных процедур и функций, а затем помещение их в собственную библиотеку (пакет). В случае возникновения ошибок в исходном коде можно воспользоваться встроенным отладчиком. В случае надобности, полученный исходный код можно перекодировать на распространённые языки Си и Фортран. И хотя распространенность второго явно преувеличена, это, в общем и целом, делает язык программирования Maple универсальным инструментом, который подходит для создания как простых, так и действительно сложных и объёмных вычислительных программ, легко транслируемых на другие языки.

1.4 Пакеты

Система Maple сама по себе является эффективным центром управления вычислениями. Но всё же большинство функций загружается не при запуске программы, а при инициализации так называемых пакетов. Эти пакеты содержат в себе группу дополнительных возможностей (команд), реализованных посредством функций и процедур, и легко читаемых Maple. Это сделано не только для экономии памяти, но и для того чтобы функции из разных разделов математики не смешивались между собой. Удобная специализация и структура пакетов избавляет вашу работу от постоянных поисков нужной функции, среди того огромного количества функций присутствующих в Maple (а их, как уже упоминалось, больше двух тысяч).

Например, чтобы загрузить функции для задач линейной алгебры и векторного исчисления, введите следующую команду:

Пример 1.11. Подключение пакета LinearAlgebra

Для того чтобы отобразить список, загружаемых при этом функций, завершите команду точкой с запятой. Таким же образом инициализируются и все другие пакеты.

Особого внимания за свои возможности заслуживает пакет Student. Как не трудно догадаться из названия, он предназначен для студентов-математиков. Он содержит в себе основные пакеты для вычислений, такие как Calculus1, VectorCalculus. А также пакет LinearAlgebra, которому в основном и посвящена эта книга.

Нами были выбраны пакеты LinearAlgebra и linalg для разработки алгоритмов работы над матрицами. Эти пакеты позволяет выполнять все основные действия над матрицами. В пакете LinearAlgebra, в отличие от устаревшего уже linalg, была сделана ставка на использование давно апро­бированных быстрых алгоритмов линейной алгебры, предложенных созда­телями Number Algorithm Group (NAG). Как ни парадоксально, но всё же не все функции из linalg были перенесены в пакет LinearAlgebra, поэтому списывать его со счетов не стоит. В дальнейшем мы будем обращаться к этим функциям, но предварительно обговаривая, что они находятся только в пакете linalg.

При решении сложных задач Вам вероятнее всего потребуются новые специфические функции, которые Вы и найдете в других пакетах. В приложении 3 предоставлен список всех пакетов системы Maple, включая новые пакеты появившиеся только в 11 версии. Для их более детального рассмотрения советуем обратиться к приведённой в конце книги литературе.

На этом вводная часть заканчивается и мы приступаем к изучению курса матричного анализа. При соответствующей математической подготовке приведённых выше фундаментальных знаний о Maple должно хватить для самостоятельного изучения всех пакетов этой системы. Мы же в нашем пособии остановимся только на пакетах LinearAlgebra и linalg, но сделаем это максимально подробно.

Глава 2

Матрицы и действия над ними

2.1 Основные понятия теории матриц

Определение 2.1. Матрица (лат. matrix - источник, начало) - прямоугольная таблица, образованная из чисел (обычно действительных или комплексных), состоящая из m строк и n столбцов.

Обозначение:

Числа a_ij (;), составляющие дан­ную матрицу, называются ее элементами. Здесь первый индекс i обозначает номер строки элемента, а второй  j— номер его столбца. Причем говорят,  что матрица A имеет тип mn.

Для матрицы A часто употребляется сокращенная запись:

A = [ a_ij ] или  A = [ a_ij ]_m,n, где a_ij (;).

Пример 2.1. Ввод матрицы в Maple двумя способами

Если т = п, то матрица называется квадратной порядка п. Если же т ≠ п, то матрица называется прямоугольной. В частности, матрица типа  1n  называется вектором-строкой, а матрица типа m1 - вектором-столбцом. Число (скаляр) можно рассматривать как матрицу типа  11.

Определение 2.2. Диагональной называется квадратная матрица вида:

B =

Сокращённая запись: B = [  ]

Если в диагональной матрице все  = 1 (), то такая матрица называется единичной и обозначается буквой Е.

Пример 2.2. Ввод единичной матрицы

2.2 Действия над матрицами

Определение 2.3. Cуммой (разностью) двух матриц  A = [ а_ij ] и B = [ b_ij ] одинакового типа называется матрица C= [ c_ij ] того же типа, элементы которой c_ij= а_ij+ b_ij(c_ij= а_ij– b_ij).

Пример 2.3. Разность между матрицей A из примера 2.1 и матрицей B из примера 2.2

Непосредственно из предыдущего определения  вытекают  сле­дующие ее свойства сложения матриц:

1)  A + (B + C) = (A + B) + C    − ассоциативность.

2)  A + B =  B + A                      − коммутативность.

3)  A + 0 = A                              − свойство нуля.

Определение 2.4. Произведением матрицыA = [ а_ij]на число α (или произведе­нием числа α на матрицу A) называется матрица, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы A на число α.

Пример 2.4. Найти произведение матрицы A на число α, где

A= , а α= 3