Пакет аналитических вычислений Maple, страница 4

Определение 2.5. Пусть A = [ а_ij]и B = [ b_ij]матрицы типов соответственно mnи  pq. Если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, т. е. п = р, то для   этих матриц определена матрица C типа mq называемая их произведением, при этом    c_ij = а_i1b_1j + а_i2b_2j + … + a_inb_nj ,  (;  ).

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц:

Чтобы получить элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй и полученные произведения сложить.

Мнемоническое правило:Cтрока на столбец.

Пример 2.5. Найти произведение матриц A и B, где

A= , B=

Произведение AB имеет смысл тогда и только тогда, когда матрица A содержит в строках столько элементов, сколько элементов имеется в столбцах матрицы B. В частности, можно перемножать квадратные матрицы лишь одинакового порядка.

Произведение двух матриц не обладает переместительным свой­ством, т. е., вообще говоря, AB ≠ B A, в чем можно убедиться на примерах.

Более того, может даже случиться, что произведение двух матриц, взятых в одном порядке, будет иметь смысл, а произведение тех же матриц, взятых в противоположном порядке, смысла иметь не будет.

В тех частных случаях, когда AB = BA, матрицы A и B назы­ваются перестановочными (коммутативными). Так, например, как нетрудно убедиться, единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей A того же порядка, причем AЕ = ЕA = A. Таким образом, единичная матрица Е играет роль единицы при умножении.

2.3 Определитель матрицы. Обратная матрица

Определение 2.6. Определителемили детерминантом квадратной матрицы  A = [ а_ij ] называется число det A или |A|, которое может быть вычислено по элементам матрицы  с помощью следующей рекурсии:

Если n = 1, то det A = a₁₁;

Если n = 1, то det A = , где  .  

М_ik – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца.

Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

 Пример 2.6. Найти определитель для матрицы A, где A =

Определение 2.7.  Минором элемента a_ij матрицы называется определитель матрицы, полученной из данной в результате вычеркивания i-й строки и j-гo столбца.

Определение 2.8.  Рангом матрицы A называется такое натуральное число r, что среди всех миноров r-го порядка матрицы A есть хотя бы один не равный нулю, а все миноры (r + 1)-го порядка, если существуют, равны 0.

Пример 2.7. Найти ранг для матрицы A, где A=

Определение 2.9. Обратной матрицей по отношению к дан­ной называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

Для матрицы A обозначим обратную ей матрицу через A^-1. Тогда по определению имеем: AA^-1 = A^-1A = Е, где Е— единичная матрица.

Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

Пример 2.8. Найти обратную матрицу A^-1 , где A =

Глава 3

Блочные матрицы и их алгебра

Часто приходится пользоваться матрицами, разбитыми на прямоугольные части – «клетки» или «блоки».

Пусть дана прямоугольная матрица

При помощи горизонтальных и вертикальных линий рассечем матрицу A на прямоугольные блоки:

Про эту матрицу будем говорить, что она разбита на stблоков A_αβразмером m_αn_β(;) или что она представлена в виде блочной матрицы.

Сокращённая запись: A= [ A_αβ ]  (;).

Действия над блочными матрицами производятся по тем же формальным правилам, как и в случае, когда вместо блоков имеем числовые элементы.

Известно, что при умножении двух прямоугольных матриц A и B длина строк в первом сомножителе A должна совпадать с высотой столбцов во втором сомножителе B. Для возможности «блочного» умножения матриц дополнительно требуется, чтобы при разбиении на блоки все горизонтальные размеры в первом сомножителе совпадали с соответствующими вертикальными размерами во втором сомножителе:

,       

Тогда легко проверить, что

AB = C = [ C_αβ ], где

  

Заметим, что умножение квадратных блочных матриц одного и того же порядка всегда выполнимо, когда сомножители разбиты на одинаковые квадратные схемы блоков и в каждом из сомножителей на диагональных местах стоят квадратные матрицы.

Формула Фробениуса. Пусть неособенная квадратная матрица М (|M| ≠ 0)  разбита на блоки

,

и пусть также A – неособенная квадратная матрица (|A| ≠ 0)  . Тогда матрица М^-1 находится по формуле:

, где .

Формула Фробениуса сводит обращение матрицы порядка n+ q к обращению двух матриц порядка nи q и к операциям сложения и умножения матриц с размерами nn, qq, nq, qn.

Пример 3.1. Найти обратную матрицу M^-1 по формуле Фробениуса, где

M =

 

Ввод осуществляется посредством задания 4 блоков, на которые разбивается исходная матрица M

Далее вычисляем матрицу H и каждый блок матрицы M^-1:

Функция blockmatrixсодержится в пакете linalg, поэтому для ее использования записывают выражение linalg[blockmatrix], что не подключает весь пакет, а дает возможность использовать только одну функцию. Эта функция позволяет составить матрицу из блоков размера nn и qq.

Декомпозицию блоков можно сделать используя функцию SubMatrix, которая выделяет из матрицы заданный блок.

Пример 3.2. Разбить матрицу A на 4 блока, где A =

Собрать обратно блоки можно многими способами. Приведем два из них:

Пример 3.3. Составить матрицу из 4 блоков A₁, A₂, A₃, A₄,

где A₁ = ,  A₂ = ,  A₃ = ,  A₄ = .