Теоремы о спектрах. Спектральный (частотный) анализ электрических цепей

10.5.Теоремы о спектрах

 

1.  Теорема линейности

2.  Дифференцирование и интегрирование функций

3.  Теорема об изменении масштаба (теорема подобия)

Если    ,   то

Чем короче импульс, тем шире его спектр, и наоборот.

4.  Теорема запаздывания

При запаздывании сигнала во времени на t₀  его спектральная плотность амплитуд остаётся неизменной; изменяется только спектральная плотность фаз на величину wt₀.

5.  Теорема смещения

При умножении сигнала на гармоническое колебание его спектр смещается по шкале частот на величину, равную частоте гармонического колебания.

 - спектр видеоимпульса

 - спектр радиоимпульса

Получение радиоимпульсов (радиотелеграфия)

6.  Теорема Рэлея

Энергия сигнала может быть вычислена как по временной, так и по спектральной характеристикам.

, т.е. W- полная энергия сигнала, равная сумме энергий всех спектральных составляющих:

 - спектральная плотность энергии сигнала

Спектральную плотность энергии сигнала называют также энергетическим спектром.

Спектральная плотность энергии показывает, какая доля энергии заключена в каждой полоске частот шириной dω в окрестности частоты ω.

Полосу частот , в которой заключено 90% всей энергии сигнала, назовём ШИРИНОЙ СПЕКТРА сигнала.

Для прямоугольного импульса

   или   , т.е. ширина спектра равна ширине основного лепестка и обратно-пропорциональна длительности импульса.

7. Теорема свёртки

Свёртке сигналов соответствует произведение их спектров.

10.6.Спектральный (частотный) анализ электрических цепей

 

Комплексные передаточные функции

 

   

   

Импульсные характеристики и их преобразования Фурье:

Временной метод анализа:

По теореме свёртки:

Комплексные передаточные функции:

Комплексной передаточной функцией цепи называется отношение комплексной спектральной плотности реакции к комплексной спектральной плотности воздействия.

Пример

 - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

-фазочастотная характеристика цепи (ФЧХ)

АЧХ цепи:

ФЧХ цепи:

Определим .

Частотный метод:

1. Определяем комплексную спектральную плотность воздействия

2. Определяем комплексную передаточную функцию цепи Н_UR(jw)

3. Определяем комплексную спектральную плотность реакции цепи

4. Определяем реакцию цепи

Комплексная передаточнаяфункция неискажающей цепи