Электрические фильтры. Передаточные функции и частотные характеристики фильтров. Реализация фильтров в виде LC-схем

16.1. Классификация фильтров. 3

16.2. Требования. 9

к  фильтру. 9

16.3. Передаточные функции и частотные характеристики фильтров. 14

16.4. Задача расчёта фильтров. 19

Аппроксимация: 20

Реализация: 21

16.5. Нормирование по частоте. 22

16.6. Фильтры Баттерворта. 26

16.7. Фильтры Чебышева. 47

Полином Чебышева. 49

Поведение полинома  Чебышева. 52

Определение порядка фильтра. 55

Передаточная функция. 57

16.8. Реализация фильтров в виде. 63

LC-схем.. 63

Реализация по методу. 65

Дарлингтона. 65

16.9. Преобразование схем.. 77

LC-фильтров. 77

Преобразование частоты.. 78

Преобразование схемы.. 83

Переход от фильтров НЧ.. 88

к полосовым.. 88

16.10. Реализация фильтров в виде активных RC – схем.. 95

Звено ФНЧ  2-го порядка. 95

Звено ФНЧ 1-го порядка. 101

Реализация ARC – фильтров высокого порядка. 104

Фильтры Золотарева. 107

16.11. Дискретные фильтры.. 109

Порядок расчёта дискретного фильтра. 123

Цифровые фильтры.. 130

16. Электрические фильтры

16.1. Классификация фильтров

· По характеру полосы пропускания:

1)  Фильтры нижних частот (ФНЧ)

2)  Фильтр верхних частот (ФВЧ)

3)  Полосовые фильтры (ПФ)

4)  Заграждающие фильтры (ЗФ)

5) Многополосные фильтры

· По наличию источников:

1)  Активные фильтры

2)  Пассивные фильтры

· По элементной базе:

1)  LC - фильтры

2)  RC - фильтры

3)  RLC – фильтры

4)  Кварцевые фильтры

5)  Магнитострикционные фильтры

6)  Электромеханические фильтры

7)  Цифровые фильтры

8)  Акустоэлектронные фильтры

9)  Оптоэлектронные фильтры

10) С переключаемыми конденсаторами

16.2. Требования

к  фильтру

Идеальный фильтр

Требования к характеристике рабочего ослабления

Требования к квадрату АЧХ

16.3. Передаточные функции и частотные характеристики фильтров

Полиномиальные фильтры

Передаточная функция:

АЧХ:

Квадрат АЧХ:

Рабочее ослабление:

16.4. Задача расчёта фильтров

1 этап. Аппроксимация

2 этап. Реализация

Аппроксимация:

В выражении  отыскивают такие коэффициенты , ,…,, при которых квадрат АЧХ  удовлетворяет заданным требованиям.

Реализация:

1)  в виде LC – схемы;

2)  в виде RC – схемы;

3)  в виде цифрового фильтра;

и т.д.

16.5. Нормирование по частоте

Нормированная частота:

Обычно:

Тогда:

Нормированная граничная частота полосы пропускания

Квадрат АЧХ:

Чтобы найти реальную частоту, нужно:

или

16.6. Фильтры Баттерворта

У фильтров Баттерворта

Квадрат АЧХ:

Рабочее ослабление:

Коэффициент А_n найдём из условия:

Откуда:

Величину

называют коэффициентом неравномерности ослабления в полосе пропускания.

Порядок фильтраnвыбирается так, чтобы

или

Откуда

Передаточная функция фильтра Баттерворта

Нечётное n:

Чётное n:

Найдём полюсы для чётного n:

Для нечётногоn:

 - полином Баттерворта

Поэтому фильтры

называют фильтрами Баттерворта.

16.7. Фильтры Чебышева

Если в выражениях для квадрата АЧХ и рабочего ослабления вместо полинома Баттерворта подставить полином Чебышева, то получим фильтры Чебышева.

Полином Чебышева

………………………………………..

Другая форма записи полинома Чебышева:

Коэффициент при старшем члене полинома Чебышева

Поведение полинома Чебышева

В интервале  полином Чебышева -го порядка принимает  раз нулевые значения и +1 раз крайние значения, равные ±1.

Это явление называется Чебышевским альтернансом.

Определение порядка фильтра

Откуда:

Передаточная функция

Коэффициент при старшей степени

.

Корни уравнения

16.8. Реализация фильтров в виде

LC-схем

Полиномиальный фильтр

5-го порядка

Реализация по методу

Дарлингтона

Коэффициент отражения

Откуда

Зная , находят  и по этому сопротивлению реализуют двухполюсник методом Кауэра.

Существует связь:

Пример

В результате аппроксимации получено выражение квадрата АЧХ:

Находим

Корни числителя:

Корни знаменателя:

или

Составим полиномы h(p) и v(p).

Пусть R₁= 1 кОм

Тогда:

Осуществим реализацию по

1-ой форме Кауэра.

16.9. Преобразование схем

LC-фильтров

От схем ФНЧ – к схемам ФВЧ, ПФ, ЗФ.

Преобразование частоты

От ФНЧ – к ФВЧ

Пример

Преобразование схемы

Пример

Переход от фильтров НЧ

к полосовым

Пример

Преобразование схемы ФНЧ в схему ПФ

16.10. Реализация фильтров в виде активных RC – схем

Звено ФНЧ  2-го порядка

или

Пример. Реализовать ФНЧ Баттерворта 2-го порядка в виде ARC – схемы.

;      

Выберем                 

Тогда

Звено ФНЧ 1-го порядка

Реализация ARC – фильтров высокого порядка

Передаточную функцию разбивают на произведение передаточных функций первого и второго порядка.

Пример

Найдём полюсы :

Звено 1-го порядка и два звена 2-го порядка включаются каскадно.

Фильтры Золотарева

Это фильтры со всплесками ослабления в полосе непропускания или фильтры с нулями передаточной функции.

16.11. Дискретные фильтры

Один из методов расчёта – это переход от  аналогового фильтра к  цифрового фильтра.

Стандартное преобразование , откуда

Такая подстановка в  не приведёт к дробно-рациональной функции .

Разложим стандартное преобразование в ряд Тейлора:

Оставляя первый (линейный) член, имеем:

В общем виде:

Это преобразование называется билинейным. Здесь . Часто используют другие выражения для коэффициента пропорциональности .

Фильтры

АЧХ дискретного фильтра периодически повторяется с периодом . Заметим, что когда ,

Использовать можно диапазон  от 0 до 0,5. Т.е. частота  для дискретного фильтра соответствует частоте   аналогового фильтра.

Установим соответствие шкал частот этих фильтров. Для этого перепишем билинейное преобразование в виде:

И подставим  и .

Тогда

Откуда:

При 

При

Необходимо, чтобы частота  дискретного фильтра соответствовала частоте  аналогового фильтра:

Откуда

При  получаем

Порядок расчёта дискретного фильтра

1. Пересчитать требования к ДФ в требованиях к АФ.

2. Найти из справочника по требованиям к АФ передаточную функцию Н(р) аналогового фильтра.

(Или рассчитать Н(р) любым другим способом).

3. С помощью билинейного преобразования перейти от Н(р) к Н(z).

4. Реализовать Н(z) в виде любой (или требуемой) схемы.

Пример

Требования к ДФ:

1.  Определяем :

2. Находим Н(р) АФ:

При

и  по справочнику Христиан Э.,Эйзенман Е. «Таблицы и графики по расчёту фильтров» (М.: Связь, 1975) находим

3. Переходим к :

Приведём Н(z) к стандартному виду:

4. Строим схему фильтра.

Цифровые фильтры

1. Числа представляются двоичным кодом.

2. Ячейки памяти имеют конечную разрядность, т.е. числа представляются с ошибкой. Возникает шум квантования. Умножение также выполняется с округлением результата.

3. Расчёт ЦФ включает расчёт разрядностей АЦП, ЦАП, регистров оперативной памяти.