Доказательство неравенства. Определение наименьшего значения функции на множестве. Расчет наибольшего члена последовательности (Решения математических задач областной олимпиады)

Решение. Разделив обе части на , запишем его в виде     и рассмотрим функцию . Тогда данное неравенство принимает вид  (). . При  , т.к. на этом интервале  Следовательно, f(x) убывает на интервале [0, 1), так что – в силу непрерывности – принимает свое наибольшее значение в точке х=0. Но f(0) = 2, поэтому для  f(x)<2, и, в частности, .

Решение. Рассмотрим функцию  в ее области определения . Тогда , и, следовательно, f(x) – возрастающая на  функция, так что заданное уравнение не может иметь более одного корня. Вычислим . По теореме Больцано-Коши, непрерывная функция f(x) принимает все значения между f(1)=0 и f(200), и, в частности, при некотором x равна 4.

Решение. 1) Покажем, что если дифференцируемая функция имеет период T, то ее производная также имеет период T. Действительно, если f(x+T) = f(x), то , т.е. . 2) Пусть заданная функция имеет период  Т; тогда ее вторая производная  также имеет период T, и, следовательно, функции    имеют период Т. Тогда число Т как период косинуса равно целому кратному его наименьшего периода 2π, т.е. Т = 2kπ (kÎZ). С другой стороны, период функции  равен  и, следовательно,  (lÎZ).      Так как Т не равно 0, то k  иl  отличны от 0. Но тогда из равенства  получаем, что  – рациональное число, что не верно. Следовательно, данная функция не является периодической.

Решение: ..  Наименьшее значение функции f(x) = sin(x) на множестве М равно sin(1).

Решение: , – биссектриса угла А.  и  – орты векторов соответственно.  – направляющий вектор биссектрисы .. Уравнение прямой AD :   или . Расстояние вершины  С до биссектрисы угла А .

Решение:

Решение: –это интегральная сумма функции   f(x) = x¹⁰  на отрезке [0, 1]. Функция f(x) = x¹⁰   интегрируема на отрезке [0, 1]. Следовательно,

Решение: Сначала заметим, что в множестве целых чисел разность любых двух делится на 7 тогда и только тогда , когда все числа этого множества имеют одинаковый остаток при делении на 7. Поэтому разделим 100 заданных чисел на 7 групп по остаткам при делении на 7. Так как групп 7, а чисел – 100 , по принципу Дирихле найдутся 15 чисел, попавших в одну группу и, следовательно, удовлетворяющих условию задачи. Значит пункт а) ответ: верно. Пункт б) ответ отрицательный. Выберем все для простоты первые 105 натуральных  чисел. Разобьем их на 7 групп по остаткам при делении на 7. Тогда в каждой группе  будет по 15 чисел. Выбирая 16 чисел, мы не можем всех их взять из одной группы. По принципу Дирихле найдутся два числа из разных групп. Разность этих чисел не будет делиться на 7.

Решение: 1) a = 0. Из второго уравнения следует, что x₁=0, x₂=0, … , x_n=0. 2) . Делим каждое уравнение системы на  правую часть соответствующего уравнения. Обозначим:  . Получим систему   Из второго уравнения следует, что  для всех i, и следовательно  для всех i. . Из третьего уравнения вычитаем второе уравнение, получаем . .  Отсюда .  Если для некоторого i   , то из второго уравнения следует, что для всех остальных i  . Теперь ответ следует из .