Глава 5. Применение производных
5.1. Правило Лопиталя.
Среди неопределенных выражений чаще всего приходится встречаться с неопределенностями типа или . При их раскрытии очень помогает так называемое правило Лопиталя.
Раскрытие неопределенностей типа .
Теорема1. Пусть
а) функции и определены и непрерывны на ;
б) в существуют и , причем ;
в) ;
г) .
Тогда .
Доказательство.
В точке а функции и не определены. Доопределим их по непрерывности, полагая . Тогда по формуле Коши
, где . Поэтому при также будет . Переходя к пределу, получим
, так как последний предел существует. <
Теорема2.
Пусть
а) функции и определены и непрерывны на ;
б) в существуют и , причем ;
в) ;
г) .
Тогда .
Доказательство.Сделаем «замену переменной» . Тогда при и мы можем воспользоваться предыдущей теоремой. Имеем
, что и доказывает теорему. <
Несмотря на свою внешнюю простоту, правило Лопиталя довольно сложно при его практическом использовании. При практическом применении этого правила следует иметь в виду следующие рекомендации:
а) прежде, чем находить рекомендуется выражение упрощать, насколько это возможно;
б) если при вычислении снова подучилась неопределенность, то применить правило Лопиталя еще раз. Однако перед его повторным применением рекомендуется выделить отдельно сомножители, не стремящиеся к нулю, и заменить их предельными значениями.
Рассмотрим два примера на эти рекомендации.
Пример 1.
Вычислить .
Решение. Используем правило Лопиталя. Имеем
И вот тут не имеет смысла сразу подставлять , так как снова получилась неопределенность. Не имеет также смысла сразу применять правило Лопиталя еще раз - залезем в такие дебри, из которых не выберемся. Поэтому сначала упрощаем - убираем «трехэтажность» и сокращаем сомножитель :
И вот тут уже можно смело подставить , так как нет никакой неопределенности:
=2.
Пример 2.
Вычислить .
Решение. Используем правило Лопиталя и упрощаем. Имеем
У нас снова получилась неопределенность. Но, прежде чем применять правило Лопиталя еще раз, надо сначала выделить сомножители, не стремящиеся к 0, и вычислить их предел отдельно:
А вот теперь к оставшемуся выражению применяем правило Лопиталя
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.