Применение производных. Правило Лопиталя. Условия постоянства и монотонности функции

Глава 5. Применение производных

5.1. Правило Лопиталя.

Среди неопределенных выражений чаще всего приходится встречаться с неопределенностями типа или . При их раскрытии очень помогает так называемое правило Лопиталя.

Раскрытие неопределенностей типа .

Теорема1. Пусть

а) функции  и  определены и непрерывны на ;

б) в  существуют  и , причем ;

в) ;

г) .

Тогда .

Доказательство.

В точке а функции и не определены. Доопределим их по непрерывности, полагая . Тогда по формуле Коши

, где . Поэтому при также будет . Переходя к пределу, получим

, так как последний предел существует. <

Теорема2.

Пусть

а) функции и  определены и непрерывны на ;

б) в  существуют  и , причем ;

в) ;

г) .

Тогда .

Доказательство.Сделаем «замену переменной» . Тогда при   и мы можем воспользоваться предыдущей теоремой. Имеем

, что и доказывает теорему. <

Несмотря на свою внешнюю простоту, правило Лопиталя довольно сложно при его практическом использовании. При практическом применении этого правила следует иметь в виду следующие рекомендации:

а) прежде, чем находить  рекомендуется выражение  упрощать, насколько это возможно;

б) если при вычислении  снова подучилась неопределенность, то применить правило Лопиталя еще раз. Однако перед его повторным применением рекомендуется выделить отдельно сомножители, не стремящиеся к нулю, и заменить их предельными значениями.

Рассмотрим два примера на эти рекомендации.

Пример 1.

Вычислить .

Решение. Используем правило Лопиталя. Имеем

И вот тут не имеет смысла сразу подставлять , так как снова получилась неопределенность. Не имеет также смысла сразу применять правило Лопиталя еще раз - залезем в такие дебри,  из  которых не выберемся. Поэтому сначала упрощаем - убираем «трехэтажность» и сокращаем сомножитель :

И вот тут уже можно смело подставить , так как нет никакой неопределенности:

=2.

Пример 2.

Вычислить .

Решение. Используем правило Лопиталя  и упрощаем. Имеем

У нас снова получилась неопределенность. Но, прежде чем применять правило Лопиталя еще раз, надо сначала выделить сомножители, не стремящиеся к 0, и вычислить их предел отдельно:

А вот теперь к оставшемуся выражению применяем правило Лопиталя