Графоаналитические (частотные) критерии устойчивости. Инверсный критерий устойчивости Найквиста. Рекомендации по использованию критериев устойчивости

Иными словами, годограф  проходит через  квадрантов.

Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет вид . Но так как по условию  корней лежит в правой полуплоскости, то в силу критерия Михайлова

.                                           (4.6)

Рассмотрим функцию

.                          (4.7)

Так как приращение аргумента годографа  этой функции равно разности приращения аргумента числителя и знаменателя, то с учетом соотношений (4.5) и (4.6) получим

        .

Таким образом, для устойчивости рассматриваемой системы необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента годографа  было равно . Но функция  связана с передаточной функцией  соотношением (4.7). Из этого соотношения следует, что годограф  смещен по отношению к годографу  влево на расстояние, равное . Отсюда получаем, что годограф  должен охватывать точку () на угол . Следовательно, при применении критерия Найквиста необходимо предварительно определить число правых полюсов .

В частном случае, когда разомкнутая САУ устойчива, т.е. , критерий Найквиста состоит в следующем : если разомкнутая САУ устойчива, то для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы функция  не охватывала критическую точку () при изменении  от  до .

а)

б)

Рис. 4.10 - Примеры АФХ

На рис. 4.10, а  характеристики  1  и  4  соответствуют  устойчивым  статическим системам, характеристика 3 - неустойчивой,  а характеристика  2 - системе,  находящейся  на  границе устойчивости.

Существуют и другие формулировки критерия Найквиста, которые отличаются не сутью, а формой. Приведем одну из наиболее распространенных в инженерной практике формулировок : замкнутая САУ устойчива, если число пересечений АФХ  разомкнутой САУ отрицательной полуоси левее точки (-1, 0) сверху вниз больше на  раз числа пересечений в обратном направлении. Здесь - по-прежнему число полюсов передаточной функции  разомкнутой САУ с положительной действительной частью.

На рис. 4.10, б  в качестве примера показаны две АФХ САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии из-за наличия правых корней, но устойчивой в замкнутом состоянии. Характеристика 1 соответствует  (, «0,5 пересечения»), характеристика 2 - значению  (). При  (разомкнутая САУ устойчива или нейтрально-устойчива) для устойчивости замкнутой САУ разность пересечений сверху вниз и снизу вверх  должна быть равной нулю, т.е. .

Для одноконтурной САУ, когда знаменатель  представляет собой произведение знаменателей передаточных функций отдельных звеньев, число  находится легко, поскольку полюсами  являются полюсы передаточных функций отдельных звеньев. Например, если

,  .

Для сложных многоконтурных САУ, особенно с перекрестными связями, задача определения числа  значительно усложняется (в этих случаях иногда следует отказаться от критерия Найквиста).

Рассмотрим подробнее систему, находящуюся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости. Для этой системы , где - число нулевых корней характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии.  не имеет нулей в правой полуплоскости и на мнимой оси. Следовательно,  при . По такой характеристике невозможно судить, охватывает ли точку () или нет (принцип приращения аргумента также не рассматривает случаи, когда ).

Рис. 4.11 - Сдвиг нулевого корня в левую полуплоскость

Путем искусственного сдвига нулевых корней  (рис. 4.11) с последующим предельным переходом  эту систему можно преобразовать к устойчивой или неустойчивой разомкнутой системе, что дает возможность применить приведенные выше формулировки критерия Найквиста.

Пусть  и , тогда

.

Разомкнутая система стала устойчивой. При  оба годографа ( и ) совпадают при всех частотах, кроме  отличается от  наличием дуги бесконечного радиуса, проходящей через IV квадрант и приводящей годограф при  к действительной положительной полуоси. Эту часть годографа называют «дополнением в бесконечности».

Годографы АФХ  и  рассматриваемой системы изображены на рис. 4.12.

Рис. 4.12 - Дополнение в бесконечности

На рис. 4.12 коэффициент  определяется выражением .

Аналогично строятся измененные частотные годографы при . При  дополнение в бесконечности проходит через 2 квадранта, а для произвольного  дополнение в бесконечности представляет собой дугу бесконечного радиуса, начинающуюся при  на действительной оси и с увеличением частоты описывающей угол  в отрицательном направлении вокруг начала координат (рис. 4.13).

Рис. 4.13 - Примеры АФХ астатических САУ

Для АФХ разомкнутых систем, дополненных в бесконечности, можно воспользоваться следующей формулировкой критерия Найквиста : для устойчивости замкнутой САУ, которая в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости, имея нулевые корни характеристического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы, дополненная в бесконечности, при изменении  от  до  не охватывала точку (). Аналогично путем рассмотрения дополнений в бесконечности могут быть получены условия устойчивости САУ, характеристическое уравнение которой в разомкнутом состоянии имеет пару мнимых корней. В вычислительном аспекте алгоритм оценки устойчивости по критерию