Критерий независимости случайных величин. Кореляционный момент Мху и коэффициент кореляции двух СВ. Коррелированность и зависимость случайных величин

37. Критерий независимости СВ.

Пусть Х, У - двум. с - ма непрер. СВ.

Условной  вероятностью распр - я  сост - я сост. Х  при  данном Y=у F(х/у) наз. отнош. плотн. (совм. распред.  F(х,у) )     с - мы к плотности с - мы F2(Y)

f(x,y) отличная от f(x)

f(x) дает независ. от значения которые приним. состовл. , хар-ку.

f(x,y) дает  от значения которые приним. состовл. , хар-ку.

Св-ва условной плотности распределения.

 

Две СВ независимы , если закон распр. состоящий из них не зависит от таго , какие значения принимает другая величина.

Теорема: Для того, чтобы СВ X и Y были независимы необходимо и достаточно , чтобы ф - ция распределения системы СВ  F(х,у) была =произведению ф - ции распр. состовляющих

Докозательство:

1. Необходимость: Пусть Х и Y независемы, тогда независимы и события

X<x       Y<y

Тогда вероятность того , что X<x , Y<y двух независемых событий это вероятностей P(Х<x) и P(Y<y)

2. Достаточность:

Нужно докозать что X и Y - независимы при условии:

=> эти события независимы значит события X<x , Y<y - независимы следовательно и сами СВ X и Y независимы ч.т.д.

Следствие:

Для того, чтобы непр. СВ были независимы необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (х,у) была  = произведению состовляющих.

38. Кореляционный момент Мху и коэффициент кореляции двух СВ.

Кореляционным моментом системы двух СВ () называют мат. ожидание произв. отклон. этих СВ от их мат.ожид.

       

Для вычисления коор. момента дискретной СВ используется формулу:

Для непрерывной СВ:

Д-ть, что корреляционный момент двумерной СВ=

Коор. момент служит для характеристики связи М/у СВ X и Y (т.е. зависит или не зависит ).

Теорема: Коор момент двух независимых  СВ = 0.

Доказательство:

X,Y - независимы , x - М(х) и у - М(у) независимы

  т.к. М(x - М(х)) = 0

ч.т.д.

Недостаток:

Корр. момент зависит от единиц измерения. Если СВ см , то  если в м , то .

Чтобы  исправить этот недостаток, ввод. коэф. корреляции - это отношение корр. момента к произведению сред. отношений.

Св-ва коррел. хар-к:

1. Теорема: Абс. величина коор момента двух СВ X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий

Доказательство:

Рассмотрим СВ  и найдем ее дисперсию

ч.т.д.

2. Теорема: Абс. вел. коэф. коррел.  ()

Док-во:

39. Коррелированность и зависимость СВ.

Две СВ называются коррел. , если их коррел.момент , а следов-но и коэффициент корреляции отличен от нуля.

Две СВ называются не коррел. если .

Кореляционным моментом системы двух СВ называют мат. ожидание произв. отклон. этих СВ от их мат. ожид.

       

Для вычисления коор. момента дискретной СВ используется формулу:

Для непрерывной СВ:

Из зависимости двух СВ не следует их коррел.

Пример:  пусть двумер. СВ X ,Y задана своей пл-тю распр-я (внутри эллипса)

Док-ть, что СВ x,y завис. и некоррел. велич. Зависимы, если их ф-ции распр. с-мы = произв-ю их ф-й распр-я .

Независимы, если плотн. с-мы = x плотности.

Завис.

из Ур-я 

,

пл-ти распр. вер-ей, знач. завис. велич.

Некоррелир.: найти коэф. корреляции

Мат. ожид. =0 для этих СВ, т.к. они симметричны относительно OX  и относ. OY.

, знач. некоррел., т.к. =0