Основы математической статистики. Проверка статистических гипотез

Кафедра медицинской и биологической физики

Тема: Основы математической статистики. Проверка статистических гипотез

лекция № 3 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности 060101 – Лечебное дело К.п.н., доцент Красноярск, 2013

План лекции:

1. Закономерности нормального распределения. Кривая нормального распределения и ее характеристики
2. Точечные и интервальные оценки
3. Генеральная и выборочная совокупности
4. Сравнение теоретических и эмпирических распределений
5. Основные этапы исследования

Нормальный закон распределения случайных величин

Нормальное распределение возникает тогда, когда на изменение случайной величины действует множество различных независимых факторов, каждый из которых в отдельности не имеет преобладающего значения.

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

• Параметр  характеризует математическое ожидание (среднее арифметическое) случайной величины, являясь центром распределения и наиболее вероятным значением. Изменение математического ожидания не влияет на форму кривой, а только вызывает ее смещение вдоль оси x.
• Параметр  характеризует изменчивость случайной величины (меру растянутости кривой вдоль оси x): чем больше , тем больше кривая растянута.
• График нормальной кривой симметричен относительно прямой x= (одинаковые по абсолютной величине отрицательные и положительные отклонения случайной величины от центра равновероятны).

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

• По мере увеличения разности (x–) значение f(x) убывает. Это значит, что большие отклонения менее вероятны, чем малые. При (x–) значение f(x) стремится к нулю, но никогда его не достигает.

Рис.1. Кривая нормального распределения

Функция нормального закона

функция плотности распределения вероятностей

функция распределения вероятностей

Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от а до b:

причем Ф(–t) = 1– Ф(t)

• Характеристики кривой:
• Коэффициент асимметрии
• Показатель эксцесса

КОЭФФИЦИЕНТ АСИММЕТРИИ

А>0 - правоасимметричные, А<0 - левоасимметричные

f(x)

X

ПОКАЗАТЕЛЬ ЭКСЦЕССА

f(x)

Х

Точечные оценки случайной величины:

• Математическое ожидание
• Дисперсия
• Среднее квадратическое отклонение

Математическое ожидание дискретной случайной величины

(среднее значение) равно сумме произведений значений, принимаемых этой величиной, на соответствующие им вероятности:

Дисперсия дискретной случайной величины это математическое ожидание квадрата соответствующего отклонения случайной величины x от ее математического ожидания:

Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение для дискретной и непрерывной случайной величины

Интервальные оценки

нормированное отклонение х – μ=σt

1σ – 68,3%;

2σ – 95,5%;

3σ – 99,7% всех вариант

Доверительные вероятности и доверительные интервалы

• Вероятности 0,95 и 0,99 (95% и 99%) – доверительные вероятности
• Δх=±t – доверительный интервал

=1 – Р уровень значимости

Генеральная и выборочные совокупности

• Наиболее общую совокупность, подлежащих изучению объектов называют генеральной.
• Выборка считается репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, то есть все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Сравнительная характеристика

значение генеральной средней с доверительным интервалом

Сравнение теоретических и эмпирических распределений

• Нулевая гипотеза. Согласно этой гипотезе первоначально принимается, что между эмпирическим и теоретическим распределением признака в генеральной совокупности достоверного различия нет.

Средние квадратические ошибки sА (асимметрии) и sЕ (эксцесса)

Для достаточно большой выборки (n>30), если показатели асимметрии (А) и эксцесса (Е) в два и более раза превышают показатели их средних квадратических ошибок, гипотезу о нормальности распределения нужно отвергнуть.

Сравнение теоретических и экспериментальных распределений по: а) критерию Колмогорова – Смирнова, б) критерию Пирсона. Пунктирная линия – эмпирическое распределение, сплошная – теоретическое распределение.

Критерий Пирсона

где mi – экспериментальные частоты попадания значения случайной величины в интервал, npi – теоретические частоты.

• Число степеней свободы – это общее число величин, по которым вычисляются соответствующие статистические показатели, минус число тех условий, которые связывают эти величины, то есть уменьшают возможности вариации между ними. Число степеней свободы определяется по следующей формуле:
• df=k–r–1, где k – число интервалов, r – число параметров предполагаемого распределения. Для нашего случая r=2, следовательно, df=k–3.
• По заданному уровню значимости () и числу степеней свободы df, находим критическое значение 2кр (,df).
• Если 2эмп <2кр гипотеза о согласии эмпирического и теоретического