Теория возмущений с вырождением. Вырожденные уровни

Квантовая теория

Семестр II

Тема

• Теория возмущений

Лекция XVIII

Теория возмущений с вырождением

Как совершаются переходы между уровнями в квантовых системах?

Вырожденные уровни

Расщепление уровней

I. Вырожденные уровни

Если гамильтониан системы обладает симметрией, то одному значению энергии (уровню) соответствует несколько волновых функций:

Целое число q называется кратностью вырождения

II.1 Состояния системы, имеющей вырожденные уровни

Общий вид волновой функции с фиксированной энергией:

II.1 Состояния системы, имеющей вырожденные уровни

Пример. Общий вид волновых функций электрона в центральном поле:

Кратность вырождения q=2l+1

II.2 Снятие вырождения

В общем случае происходит снятие вырождения: E(0)→Eα

II.2 Снятие вырождения

Снятие вырождения E(0)→Eα означает, что уже в нулевом порядке выбор функции Должен быть произведен с учетом нового номера уровня:

II.3 Представление функций

Общий вид волновой функции в порядке возмущения с номером p:

Суммирование ведется и по номерам всех уровней и по индексам вырождения.

II.3 Представление функций

Для нулевого порядка:

II.3 Уравнения теории возмущений в случае вырождения

Для каждого уровня En, n=1,2,3,…

0

1

2

II.4 Уравнения в первом порядке

II.4 Уравнения в первом порядке

II.4 Уравнения в первом порядке

II.4 Уравнения в первом порядке

n=k

Введем для удобства обозначения:

II.4 Уравнения в первом порядке

Уравнения примут вид

Решения – собственные вектора матрицы Wnn!

II.4 Уравнения в первом порядке

Решения

Индекс α – номер собственного вектора!

Собственное число

Двукратно вырожденный уровень

Пример

III. Двукратно вырожденный уровень

Предположим, что рассматриваемый уровень вырожден с кратностью q=2

III. Двукратно вырожденный уровень

Эффект Штарка

Расщепление уровней в электрическом поле

IV. Эффект Штарка

Постановка задачи:

IV. Эффект Штарка

Матричные элементы для l=1

IV. Эффект Штарка для атома водорода