Теория рассеяния в приближении Борна

Квантовая теория

Семестр II

Тема

• Теория рассеяния

Лекция XVIII

Теория рассеяния в приближении Борна

Как наблюдать взаимодействие квантовых частиц?

Измерительные характеристики

Что измеряют при исследовании рассеяния?

I. Измерительные характеристики рассеянных частиц

I. Измерительные характеристики рассеянных частиц

σ(θ) - Дифференциальное сечение

r

dS/r2=dΩ – телесный угол

dN – число рассеяных частиц в телесный угол

I. Измерительные характеристики рассеянных частиц

Число частиц на единицу пути в веществе, выбывших из потока, за счет рассеяния

n – концентрация рассеивающих частиц , σ0 – полное сечение

I. Измерительные характеристики рассеянных частиц

Вероятность пройти путь x без рассеяния равна:

Средняя длина свободного пробега Λ равна:

Квантовая задача рассеяния

Чем отличаются классическая и квантовая теории рассеяния?

II. Квантовая задача рассеяния

Предполагаем, что источник рассеиваемых частиц создает стационарный поток частиц. Поэтому уравнение для волновой функции частиц в потоке будет иметь вид стационарного уравнения Шредингера:

II. Квантовая задача рассеяния

Будем полагать, что рассеивающий потенциал – обладает центральной симметрией:

II. Квантовая задача рассеяния

Задача рассеяния – это задача о движении частиц вне потенциальной ямы

II. Квантовая задача рассеяния

Уравнение Шредингера для непрерывного спектра

II. Квантовая задача рассеяния

Волновая функция частицы:

Ψin - волновая функция падающей частицы.

Ψout - волновая функция рассеянной частицы.

II. Квантовая задача рассеяния

Граничные условия для падающей волны:

До рассеяния состояние частицы описывается волновой функцией Де Бройля.

II. Квантовая задача рассеяния

Граничные условия для рассеянной волны:

VI. Закон сохранения плотности вероятностей

VI. Закон сохранения плотности вероятностей

VI. Закон сохранения плотности вероятностей

VI. Закон сохранения плотности вероятностей

Плотность потока

Сохраняющаяся плотность

Пример: Закон сохранения заряда

плот ность заряда

плотность тока

VI. Закон сохранения плотности вероятностей

Соотношение

называется законом сохранения плотности вероятности, а величина

называется потоком вероятности

VI. Дифференциальный закон сохранения

Нормировка плотности вероятности сохраняется!

II. Квантовая задача рассеяния

Нормировка волновой функции падающей частицы

Число частиц на 1 см2 в 1 с равно N=Jz

II. Квантовая задача рассеяния

Нормировка волновой функции рассеянной частицы.

II. Квантовая задача рассеяния

Связь дифференциального сечения σ(θ) с амплитудой рассеяния A(θ)

Поскольку при выбранной нормировке V=N!!!

III. Приближение Борна

Приближение Борна является одной из форм теории возмущения!

Малым параметром Λ в приближении Борна является отношение потенциальной энергии налетающей частицы к ее кинетической энергии:

III. Приближение Борна

В этом случае уравнение Шредингера можно записать в таком виде:

III. Приближение Борна

0

1

2

III. Приближение Борна

III. Приближение Борна

Уравнение

По форме является уравнением

ГЕЛЬМГОЛЬЦА!!!

III. Приближение Борна

Уравнение Гельмгольца

Является следствием

Волнового уравнения для потенциала электрического поля:

III. Приближение Борна

Решение уравнения Гельмгольца Ф0(r) Связано с решением волнового уравнения Ф(r,t) cоотношением:

III. Приближение Борна

Волновое уравнение

Имеет решение в виде запаздывающего потенциала:

III. Приближение Борна

Сравнивая уравнение для Ψ(1) с уравнением Гельмгольца находим:

Положим

III. Приближение Борна

В результате получаем соотношение:

Отсюда:

III. Приближение Борна

Тогда получаем решение в приближении Борна:

Вычисление амплитуды рассеяния

Асимптотика на бесконечности

IV. Амплитуда рассеяния

В полученном решении необходимо перейти к пределу r→∞.

IV. Амплитуда рассеяния

При r’/r→0, r→∞

IV. Амплитуда рассеяния

IV. Амплитуда рассеяния

IV. Амплитуда рассеяния

IV. Амплитуда рассеяния

Дифференциальное сечение рассеяния

Упругое рассеяние на атомах

Формфактор

V. Рассеяние на атомах

Потенциал рассеяния на атоме с центрально-симметричным полем

V. Рассеяние на атомах

Потенциал рассеяния на атоме с центрально-симметричным полем

V. Рассеяние на атомах

Рассеяние на кулоновском потенциале

Ищем решение в виде:

V. Рассеяние на атомах

Решение:

Отсюда:

V. Рассеяние на атомах

Отсюда:

V. Рассеяние на атомах

Формфактор

Ищем решение в виде: