Плоское напряженное состояние и осесимметричная деформация (Примеры решения задач)

Глава 8

              ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

              И ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

                      ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Доказать, что в области, которая находится рядом о областью равномерного' поля напряжений, поле напряжений всегда является простым.

Решение. Поле напряжений, в котором одно семейство линий скольжения (например, ) состоит из прямых линий, называется простым. Если в некоторой области  прямолинейны оба семейства линий скольжения, то в этой области постоянны параметры и  и напряжения распределены равномерно. Такое поле напряжений называют равномерным [12].

Пусть в области А (рис. 49) имеем равномерное поле напряжений, т. е. в этой области линиями скольжения является сетка взаимно перпендикулярных прямых. Обозначим для семейств линий скольжения  и  параметрыи   ответственно че­рез и  . Предположим, что прямая L является границей области А. Поскольку эта прямая принадлежит также и соседней с областью А области В и является линией скольжения в ней, то используем следствие из первой теоремы Генки: если некоторый отрезок линии скольжения одного из семейств — прямой, то все соответствующие отрезки линий этого семейства, отсекаемые линиями второго семейства,— прямые., Следовательно, в области В одно семейство линий скольжения (например, ) состоит из прямых линий и поле напряжений в области В является простым. Значение пара­метра  для семейства линий скольжения  в области В такое же, как и в области А, т. е. .

2. Определить осесимметричное состояние при отсутствии скручивания для бес­конечной пластины с круговым вырезом.

Решение. Поскольку скручивание отсутствует, то  . Компоненты

же  и  будут главными напряжениями. Если по контуру выреза R = а (рис. 50) I действует внутреннее давление, а на бесконечности напряжения равны нулю, то вблизи отверстия <0, > 0 и решение будет таким же, как и для случая плоской деформации.  |

Если же пластина со свободным вырезом испытывает на бесконечности равномер­ное растяжение, то напряжения  и  имеют один и тот же знак и  условие текучести

     Рис. 49 Линии скольжения в                                Рис. 50. Линии скольжения в

     равномерном (а) и простом (В)                            бесконечной пластине с круго

     полях напряжений                                                  вым вырезом

(6.13) имеет вид = const = . Тогда из первого уравнения равновесия (8.18) при  и граничном условии  при  R = 0 получим

.

Эта задача относится к параболическому типу и единственное семейство харак­теристик представляет пучок прямых, исходящих из центра (рис. 60). На рис. 60s также показано распределение напряжений.