Закон Ампера та Біо-Савара. Магнітний момент струму

Лекція 6

Закон Ампера та Біо-Савара

        Е л е к т р о с т а т и к а                                     М а г н і т о с т а  т и к а

                                                                   

     Порівняння механічних сил F_kта F_A при відомих зарядах і струмах показало, що

Система СІ:

 

  Гн/м – магнітна проникність вакууму

                    Н а п р у ж е н і с т ь                                 І н д у к ц і я                    

               е л е к т р и ч н о г о  п о л я                    м а г н і т н о г о  п о л я

                                                                            

     В системі СІ означення магнітної індукції

  

     Вектор індукції B лежить в площині, ^ до провідника із струмом.

Рис.

Добуток

Напрям  зв`язаний з напрямом струму, як буравчик (правий).

Контур не обов`язково повинен співпадати з силовою лінією. Він може бути довільним, аби тільки охоплював струм. Контур можуть пронизувати і декілька струмів I, I,…

  - закон повного струму.

Приклад: поле всередині соленоїда.

Рис.

Циркуляція всередині  N- число витків.

Якщо соленоїд тонкий, наближено

 

Поле всередині тонкого соленоїда не залежить від точки перерізу, тобто однорідне.

     Як бути у випадку довільних струмів?

     Для перетворення доведемо формулу Стокса.

S – поверхня, що спирається на контур L.

Рис.

Розглянемо нескінченно малий контур L у площині z, y. Тоді циркуляція  дорівнюватиме

     Застосуємо тепер закон повного струму до нескінченно малого контуру, що обмежує DS в перерізі провідника. Струм буде дорівнювати  де

 - густина вільних струмів, а

  - густина зв`язаних. Тоді для закону повного струму маємо

Оскільки  - довільний, то мусить бути

 - диференціальна форма закону повного струму.

Експериментально відомо, що магнітних зарядів немає.

Це дає у диференціальній формі

     Таким чином, рівняння магнітостатики є

         Е л е к т р о с т а т и к а                                           М а г н і т о с т а т и к а    

                                                                                    

    Додаткова умова  дає рівняння

     (*)

                                                                 Аналогічно можна взяти

        ¯                                                                        за розв`язок (*)

                                                           

       ¯      

  - вектор-потенціал.

Звернімось до обчислення вектор-потенціалу лінійного струму. Для нього

Пізніше ми покажемо, що

Тому

 - для лінійного струму

Тут виникає вираз  який ми обчислимо окремо.

 

  Наприклад:

 

  Таким чином,

  а значить

   - закон Біо-Савара-Лапласа.

Магнітний момент струму

    Застосуємо цей закон для визначення магнітного поля, що створене кільцевим лінійним струмом.

Рис.

 

 

 

    

у вигляді

 

  - вектор площини.

Можна показати, що поле на далеких відстанях від довільного контуру струму завжди визначається магнітним моментом