Коливальний контур (Вільні коливання). Рівняння гармонічних коливань

Лекція 10

Коливальний контур (Вільні коливання)

Як відбувається розряд конденсатора не просто на опір, а на котушку, що має індуктивність?

Рис.

Нехай в момент t=0 на конденсаторі буде заряд q(0)=q₀ . При замиканні контура потече змінний струм (i) і буде діяти е.р.с. самоіндукції

  

Візьмемо спочатку дуже малий опір (R=0) . Тоді

 

Це – рівняння гармонічних коливань. Будемо шукати його розв`язок у вигляді

 

Тут є дві константи A₁ та A₂.

Вони визначаються з початкових умов:  а

 

 

Рис.

 - період коливань (Томсон)

Струм

Тепер врахуємо опір

 

Знов шукаємо розв’язок

Критичним називають опір, для якого

q(0)=q₀, i(0)=0.

Будемо вважати опір таким, що

 тобто

І введемо позначення:

Тоді

Наш розв’язок

Умова q(0)=q₀ дає

^(*)

(**)

Зробимо так

(*) A₁+A₂=q₀ 

(**)

Рис.

 - коефіцієнт загасання.

 називають логарифмічним декрементом загасання

Формули для електричної та магнітної енергій мають наступний вигляд

 

При  R=0.

При

+

+

2

 

  

Складання гармонічних коливань одного напрямку та однакової чистоти Биття.

Графічно:

Рис.

Ясно, що результуюче коливання буде мати ту саму частоту

З графіка:

 m=0,1…

Якщо  то

A=A₁+A₂

Якщо  m=0,1 то

A=½A₁+A₂½.      

Нехай амплітуда A₁=A, та A₂=A, а частота  та   

+

Оскільки  то перший множник не зміниться за час кількох повних коливань з частотою w. Тому результуюче коливання можна розглядати як гармонічне коливання з амплітудою

 

Це – биття. Період биття