Закон Ампера та Біо-Савара. Взаємодія струмів

Лекція 7

Закон Ампера та Біо-Савара

     Магнитний момент струму.

     Застосуємо Закон Біо-Савара для визначення магнітного поля, що створене кільцевим струмом.

Рис.

  dl=adj

 

  В центрі витка r=a і ми маємо

  - магнітний момент струму. Можна показати, що на далеких відстанях від довільного контура струму (r>>a) магнітна індукція буде

 

Таким чином, існує аналогія між дипольним моментом і магнітним моментом.

Ампер ввів терміни: електродинаміка, е.р.с., напруга, гальванометр, соленоїд

Взаємодія струмів

     На елемент провідника  зі струмом I₁ з боку струму I діє сила

Такоим чином, закон Ампера має вигляд

     Нехай струм I₂ тече L₂ вздовж дуже довгого прямолінійного провідника. Тоді

 

 - одиничний вектор вздовж провідника зі струмом I₂, r – відстань між  та другим провідником, причому  дівиться до

 

  і вважаючи, що  маємо

 

 

Потенціальна функція струму в магнітному полі

     Нехай контур зі струмом, що знаходиться в магнітному полі, трохи змістився під дією сил (та ще й деформувався). Якщо елемент контура  змістився на відрізок  то робота сили  є

 

     Але  - вектор площини, що описав вектор  при його зміщенні на  тому

Рис.

 

 

     Роботу сил можна виразити через магнітний потік

 

Оскільки магнітних зарядів немає, то

  

     

 та  направлені по зовнішній нормалі, а  - по внутрішній (правило обходу дає правий гвинт!)

    

 

 

    Хоча магнітне поле не є потенціальним, можно ввести потенціальну функцію струму у магнітному полі, зменшення якої визначить роботу, що виконують сили поля

  так що

 

Приклад: Рамка зі струмом.

Момент сил

 

 

Сила намагається зробити v=0, щоб U=U_min.

Індуктивність

    Визначимо тепер потенціальну функцію двох струмів I₁ та I₂. Функція U₁₂ струму I₁ в магнітному полі B^(*), що створюється струмом I₂ є

де - магнітний потік, що створюється струмом I₂ і пронизує контур струму I₁ . Оскільки B^(*)~I₂, то й потік F₂₁~I₂  , тобто

F₂₁=L₂₁I₂,

де L₂₁ – коефіцієнт, що залежить тільки від геометрії контурів та їх взаємного розташування. Його називають взаємною індуктивністю контурів

Аналогічно

Але   має виконуватись рівність дії і протидії, значить

Для тонких проводів:

  

 

А для лінійних провідників

 

 - відстань між  та

 

Звідси

 

L₁₂ може бути >0, <0, або =0.

Разом з взаємною потенціальною функцією  ми повинні ввести власні потенціальні функції U₁₁ та U₂₂ . Покажемо, що

Для цього розіб`ємо струм I₁ на тонкі нитки струму DI₁ . Тоді DU₁₁ якоїсь нитки DI₁ в полі решта струмуI₁-DI₁ буде DU₁₁₌DI₁F_11-

 DI₁®0.

 

Аналогічно

 

Сумарна функція

 

Приклад. Індуктивність соленоїда (довгий і тонкий)

Магнітний потік через один виток BS=m₀nSI. Помножимо це на загальне число витків N, F=m₀nNSI. Прирівняємо це до LI, L=m₀nNSI або

 

Знайдемо тепер власну потенціальну функцію соленоїда

     

     Розглянемо тепер соленоїд з двома обмотками, що мають N₁ та N₂ витків і нехай по них течуть струми I₁ та I₂ . Знайдемо L₁₂ ?

I₂®B⁽²⁾=m₀n₂I₂

Його магнітний потік SB⁽²⁾=m₀n₂SI₂. Помножимо це на загальне число витків першої обмотки N₁, знайдемо

F₂₁=m₀n₂SN₁I₂«F₂₁=L₁₂I₂

  L₁₂=m₀n₂SN₁   (±)  

(+) – коли I₁, I₂ в одному напрямку

(-) – коли I₁, I₂ в протилежному напрямку

 

 L₁₂=±m₀n₁n₂

Сума:

 

Підставимо

 m₀n₁I₁=B⁽¹⁾, m₀n₂I₂=B⁽²⁾,

L₁₂=±m₀n₁n₂V, L₁=±n₁²V, L₂=m₀n₂²V

 

Одиниці в СІ: [F]=1 Вб =1 В×сек, [B]=1 Тл =1 Вб/м², [L]=1 Гн =1 Вб/А^-1

Існує ще одна можливість для магнітного поля: силова лінія, не маючи ні початку, ні кінця, щільно заповнює цілу поверхню, яка має назву магнітної поверхні.

Взаємодія струмів

Оскільки струм створює навколо себе магнітне поле, то, як вже значилось, два струми взаємодіють один з другим електродинамічно.

    На елемент провідника  зі струмом I₁ з боку струму I₂ діє сила

 

 

Таким чином,

 

Це закон Ампера.

Розглянемо випадок, коли струм I₂ тече вздовж дуже довгого прямолінійного провідника, тоді

 

 - одиничний вектор, направлений вздовж провідника зі струмом I₂ ;

 - відстань між  та другим провідником причому  - направлений від другого провідника до

 і вважаючи  маємо,

 

Рис.

Рис.