Рекомендации абитуриенту. Образцы вариантов задач по математике, предлагавшихся на вступительных письменных испытаниях

Рекомендации абитуриенту.

            Для правильного решения любой предложенной задачи необходимо владеть теоретическим материалом, относящимся к содержанию задачи.

            Приступая к решению задачи, вспомните определения и основные свойства величин и понятий, относящиеся к рассматриваемой задаче. Например:

1.  Дан прямоугольный треугольник, следовательно, …

2.  Требуется решить неравенство: решением неравенства называется…. Затем вспомнить основные свойства неравенств и т.д.

3.  Окружность описана около прямоугольного треугольника, следовательно, …

4.  Решить неравенство с модулем: надо разбить числовую ось на отдельные промежутки, в каждом из которых предложенное неравенство не содержит знака абсолютной величины и т.д.

5.  Требуется решить логарифмическое (показательное) уравнение. Вспомните основные свойства логарифмической (показательной) функции и посмотрите, какие из них разумно использовать.

Если нужно сделать чертеж, то следует сделать его в соответствии с условиями задачи. Хороший чертеж – помощник в решении задачи, он может подсказать правильный способ решения задачи.

      При решении уравнения сравните между собой все входящие в уравнение величины, попробуйте найти что-то общее между ними или установите связь между некоторыми из них.

      При решении тренировочных задач запоминайте использованные способы и специальные приемы, которые позволили решить задачу.

 Образцы вариантов задач по математике, предлагавшихся на вступительных письменных испытаниях в СЗТУ в 2005 году

 ВАРИАНТ 1

1. Решить уравнение         .

2. Решить уравнение

3. Доказать тождество

.

4. В равнобедренный треугольник, длина основания которого равна 3 см, а длина высоты 6 см, вписан квадрат, сторона которого лежит на основании, а противоположные вершины на боковых сторонах. Найти длину стороны квадрата.

5. Решить неравенство       где .

ВАРИАНТ 2

1. Решить уравнение         .

2. Решить уравнение

3. Доказать тождество

.

4. Стороны основания прямого параллелепипеда образуют угол, равный 60⁰, а их длины равны 8 см и 15 см. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

5. Решить систему уравнений

Решения задач предложенных вариантов

ВАРИАНТ 1

1. Решить уравнение         .

Решение. Область определения уравнения задается системой неравенств  Применяя свойства логарифмов  получаем , откуда  или .

Корни последнего квадратного уравнения .

Второй корень  не входит в ООУ.

Ответ:

2. Решить уравнение

Решение. Делим обе части уравнения на . Уравнение приобретает вид . Делаем замену переменных . Получаем квадратное уравнение . Корни квадратного уравнения .

. Значение  не подходит, т.к. .

Возвращаемся к исходной переменной: , следовательно,

Ответ: .

3. Доказать тождество

.

Решение. Преобразуем левую часть. Упростим первую скобку, используя формулу сокращенного умножения . Во второй скобке используем формулу сокращенного умножения .

. Используя определение степени с отрицательным показателем, будем иметь .

Тождество доказано.

4. В равнобедренный треугольник, длина основания которого равна 3 см, а длина высоты 6 см, вписан квадрат, сторона которого лежит на основании, а противоположные вершины на боковых сторонах. Найти длину стороны квадрата.

Решение.

1 способ. Обозначим длину стороны квадрата через . Треугольники  и  подобны, т.к.  параллельна  и, следовательно, справедливо равенство

откуда следует , или окончательно .

2 способ. Площадь треугольника равна , где  - основание треугольника,  высота, опущенная на основание. Тогда площадь треугольника .

Обозначим длину стороны квадрата . Площадь квадрата .

Теперь заметим, что площадь треугольника  можно представить в виде .

Найдем площадь каждого из трех треугольников:

;

, ясно, что

, тогда

,

, причем , отсюда следует, что

.

Подставим найденные площади трех треугольников и квадрата в формулу для определения площади данного треугольника

.

Упростим полученное выражение:

.