Рекомендации абитуриенту. Образцы вариантов задач по математике, предлагавшихся на вступительных письменных испытаниях, страница 2

После приведения подобных членов получим

или . Отсюда следует .

Ответ: Сторона квадрата см.

5. Решить неравенство где .

Решение. Найдем производную . Тогда данное неравенство примет вид

Следует рассматривать только те значения , при которых или, что то же самое, . Решим последнее неравенство с помощью метода интервалов, для чего найдем сначала корни уравнения

, т.е.

Запишем последнее неравенство в виде и нанесем критические очки и на числовую ось. Вся числовая ось разбивается на три интервала, причем в самих этих

точках неравенство выполняется. Если , то оба множителя положительны и, следовательно, левая часть положительна и на рисунке над интервалом ставим знак “плюс”. После перехода через точку лишь один из множителей меняет знак и, следовательно, над интервалом ставим знак “минус”. Наконец, для всех оба множителя отрицательны и, следовательно, над интервалом ставим знак “плюс”.

Итак, неравенство выполняется для всех из промежутка .

Обращаясь к данному неравенству, рассмотрим два случая:

1) Пусть , т.е. . Тогда обе части данного неравенства положительны и, возведя их в квадрат, получим или которое равносильно неравенству . Решим это неравенство с помощью метода интервалов, для чего сначала найдем корни уравнения . Будем иметь: , так что . Неравенство запишем в виде . Числовая ось разбивается точками и на 3 интервала , над каждом из которых ставим соответственно знаки “плюс”, ”минус” и “плюс”. Итак, неравенство выполняется в интервале , но т.к. в рассматриваемом случае , то

исходное неравенство выполняется для всех из промежутка .

2) Пусть . Тогда левая часть данного неравенства всегда положительна, а правая часть отрицательная или ноль и, следовательно, оно верно при всех , но т.к. выражение, стоящее под корнем, положительно или ноль только для из промежутка , то в этом случае решением исходного неравенства будет промежуток . Объединяя пункты 1) и 2), получим окончательно решением данного неравенства является промежуток .

Ответ: .

ВАРИАНТ 2

1. Решить уравнение .

Решение. Область определения уравнения задается системой неравенств

или

Применяя свойство логарифмов получаем , откуда или .

Найдем корни этого квадратного уравнения .

Второй корень не входит в ООУ.

Ответ:

2. Решить уравнение

Решение. Делим обе части уравнения на . Уравнение приобретает вид или . Делаем замену переменных . Получаем квадратное уравнение . Корни квадратного уравнения .

. Значение не подходит, т.к. .

Возвращаемся к исходной переменной: отсюда , а тогда

Ответ: .

3. Доказать тождество

Решение. Преобразуем левую часть тождества. В первой скобке приведем дроби к общему знаменателю. Во второй скобке используем определение степени с отрицательным показателем и формулу сокращенного умножения .

Теперь применим формулы сокращенного умножения , . Тогда получим

Тождество доказано.

4. Стороны основания прямого параллелепипеда образуют угол, равный 60⁰, а их длины равны 8 см и 15 см. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. На рисунке изображен параллелепипед .