Образец теста по математике, предлагаемого на вступительных испытаниях. Решения задач теста

Образец теста по математике, предлагаемого на вступительных испытаниях в СЗТУ в 2005 году

1. Вычислить .

2. Упростить выражение .

3. Решить уравнение .

4. Решить неравенство .

5. Решить систему уравнений .

6. Решить уравнение .

7. Решить неравенство .

8. Решить неравенство .

9. Вычислить .

10. Решить уравнение .

11. Построить графики функций 1) и 2). Определить количество точек, в которых эти графики пересекаются.

12. Найти все корни уравнения , расположенные в промежутке .

13. Упростить выражение .

14. Найти радиус круга, если проведенная в этом круге хорда длиной 24см удалена от центра круга на 16см.

15. Найти область определения функции .

16. Сумма первых двух членов арифметической прогрессии равна 10, а пятый член равен 26. Чему равен первый член и разность этой прогрессии?

Предложенный тест по математике рекомендуется абитуриенту решить самостоятельно.

Для проверки правильности ответов ниже приводим ответы и решения всех задач теста.

Решения задач предложенного теста

Задача 1. Вычислить .

Решение. Используя определение степени с отрицательным показателем и приводя разность к общему знаменателю, получим

Ответ: .

Задача 2. Упростить выражение .

Решение. Заметим, что , а  

Тогда данное выражение примет вид:

Ответ: .

Задача 3. Решить уравнение .

Решение. Так как  стоящее в знаменателе дроби равно нулю при  то будем считать, что . Запишем данное уравнение в виде .

После приведения к общему знаменателю получим

или

.

Приравниваем к нулю числитель дроби и находим корни уравнения:

Ответ:

Задача 4. Решить неравенство .

Решение. Раскрываем скобки и приводим подобные члены в обоих частях неравенства: . Будем иметь  или .

Ответ:

Задача 5. Решить систему уравнений

Решение. Заменим в первом уравнении величину  соответствующим выражением из второго уравнения. Получим равносильную систему  или

Из первого уравнения имеем , а тогда  из второго уравнения получаем, что .

Ответ:

Задача 6. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части иррационального уравнения в квадрат и найдем корни полученного квадратного уравнения:  .

После приведения подобных членов получим   

Корнями этого уравнения являются

Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения:

1)  Равенство верно, значит,  - корень уравнения.

2)  Значит,  не является корнем исходного уравнения.

Ответ:

Задача 7. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство  равносильно неравенству  или . Разделив все части полученного неравенства на  и меняя знаки неравенств, получим .

Ответ: .

Задача 8. Решить неравенство .

Решение. Так как  то данное неравенство можем записать в виде  или в таком виде .

Функция  возрастающая, так как  Следовательно, полученное неравенство, а, значит, и исходное равносильно неравенству

или

, значит, и исходное равносильно неравенству

или

Ответ:

Задача 9. Вычислить .

Решение. Замечая, что  и, используя основное логарифмическое тождество , можем написать .

Учитывая, что , будем иметь

.

Ответ:

Задача 10. Решить уравнение .

Решение. Решаем уравнение при  Используя равенства   запишем данное уравнение в виде  

или в таком виде , т.е.  Отсюда

Ответ:

Задача 11.  Построить графики функций 1)  и  2). Определить количество точек, в которых эти графики пересекаются.

Решение. Графики функций: 1)  - парабола; 2)  - гипербола. Как видно из рисунка, графики заданных функций пересекаются в трех точках.

Ответ:

Задача 12. Найти все корни уравнения , расположенные в промежутке .

Решение. Вынесем за скобку    Выражение  так как при любом  выполняется неравенство  Уравнение  имеет корни:  где  Подставляя в выражение  вместо  целые числа  получаем значения  и т.д. Из них промежутку  принадлежат  и .

Ответ:

Задача 13. Упростить выражение .

Решение. Учитывая, что , , а , можем написать

Ответ:

Задача 14. Найти радиус круга, если проведенная в этом круге хорда длиной 24см удалена от центра круга на 16см.

Решение. В окружности проведем хорду , длина которой равна 24см.  - центр круга,  и длина  равна 16см, а точка  делит хорду  пополам.  - прямоугольный. см, см. По теореме Пифагора

Ответ: Длина радиуса круга равна 20см.

Задача 15. Найти область определения функции .

Решение. Область определения заданной функции находим, исходя из следующих соображений:

1). Из множества действительных чисел исключим те значения  при котором знаменатель обращается в нуль, т.е.

2). Так как в числителе дроби корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

Итак:      ,             отсюда   

Ответ: .

Задача 16. Сумма первых двух членов арифметической прогрессии равна 10, а пятый член равен 26. Чему равен первый член и разность этой прогрессии?

Решение. В согласии с условием задачи можем написать , . Используем формулу общего члена арифметической прогрессии:  где  - первый член,  - разность прогрессии. Тогда справедливы два равенства:

   или   

Решая систему, находим

Ответ: