Математика \ Высшая математика

Разложение функций в степенные ряды. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Страницы работы

37 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Фрагмент текста работы

бесконечно дифференцируема) в окрестности точки x0 и остаточный член Rn(x) стремится к нулю при n → ∞

то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (х – xo) называемое рядом Тейлора:

(2)

Если в ряде Тейлора положить xo = 0, то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

(3)

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки xo. Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x) он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x)

Так, например, функция

если х ≠ 0, если х = 0

имеет в точке х = 0 производные всех порядков, причем f (n) (0) = 0 при всяком п .Ряд Маклорена имеет вид:

Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке х равна нулю, а не f(x)

Пусть для функции f(x) составлен соответствующий ей ряд Тейлора.

Теорема 1

Для того чтобы ряд Тейлора (2) функции f(x) сходился к в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в остаточный член формулы Тейлора (1) стремился к нулю при n → ∞, т.е. чтобы

Пусть ряд Тейлора (2) сходиться к функции f(x) в некоторой окрестности точки xo, т.е.

Так как n-я частичная сумма Sn(x) ряда (2) совпадает с многочленом Тейлора Pn(x), т.е. Sn(x) = Pn(x), находим:

Обратно, пусть

Тогда

Замечание. Если ряд Тейлора (2) сходится к порождающей функции f(x) то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т.е. Rn(x) = rn(x). (Напомним, что Rn(x) = f(x) – Sn(x), a rn(x) = S(x) – Sn(x), где S(x) – сумма ряда Тейлора.)

Таким образом, задача разложения функции f(x) в степенной ряд сведена по существу к определению значений х, при которых Rn(x) → 0 (при n → ∞). Если сделать это не просто, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции. На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 2

Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки x0 одним и тем же числом М > 0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x) т.е. имеет место разложение (2).

Согласно теореме (1), достаточно показать, что

По условию теоремы (2) для любого n имеет место неравенство | f (n) (x)| ≤ M. Тогда имеем:

Осталось показать, что

Для этого рассмотрим ряд

Так как

то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,

Следовательно,

2.Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена (3) нужно:

а) найти производные f'(x), f"(x),... , f (n)(х),...;

б) вычислить значения производных в точке x0 = 0;

в) написать ряд (3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

найти интервал (– R; R), в котором остаточный член ряда Маклорена Rn(x) → 0 при n → ∞. Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

г)

Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при n → ∞. Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

(4)

(5)

(6)

если α ≥ 0,

(7)

если – 1 < α < 0, если α ≤ – 1,

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Докажем формулу (4). Пусть f(x) = ех.

Имеем:

а) f'(x) = ех, f"(x) = ех, . . . , f (n)(х) ех, . . .;

б) f (0)= 1, f'(0) = 1, . . ., f (n)(0) = 1, . . .;

в)

~ т.е. ряд сходится в интервале (– ∞; ∞);

г) для всех

т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом М = eR. Следовательно, по теореме (2)

Таким образом,

Докажем формулу (5). Пусть f(x) = sin x.

Имеем:

а)

б)

n = 0, 2, 4, 6, . . .,

n = 3, 7, 11, . . .,

n = 1, 5, 9, . . .;

в)

Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. при всех

г) любая производная функции f(x) = sin x помодулю не превосходит единицы,

Следовательно, по теореме (2) имеет место разложение (5).

Докажем формулу (6). Пусть f(x) = cos x.

Формулу (6) можно доказать так же, как и формулу (5). Однако проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (5), получим: