Математика: Учебное пособие для абитуриентов (Теоретические сведения к решению задач)

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ

ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ

И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ

Уральский институт Государственной противопожарной службы

О.В.

МАТЕМАТИКА

Учебное пособие для абитуриентов

Екатеринбург

2007

, С.А. . Математика: Учебное пособие для абитуриентов - Екатеринбург: Уральский институт ГПС МЧС России, 2007 - 95 с.

Рецензенты: доктор физико-математических наук

Предназначено для абитуриентов Уральского института ГПС МЧС России факультета подготовки инженеров пожарной безопасности. Подготовлено в соответствии с программой для поступающих в высшие образовательные учреждения. Содержит основные теоретические сведения и решения задач, предложенных на вступительном письменном экзамене по математике в Уральский институт ГПС МЧС России в последние годы.

Одобрено на заседании методического совета Уральского института ГПС МЧС России.

ã ,

С.А. , 2007

ã УрИ ГПС МЧС России, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ__________________________________________ 6

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ________ 7

ЗАДАНИЕ № 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ____________________________________________ 7

Арифметические действия над целыми числами__________________ 7

Дроби обыкновенные и десятичные, арифметические действия над ними_____________________________________________________ 8

Рациональные числа_______________________________________ 10

Степень рационального числа с натуральным показателем________ 10

Извлечение корня__________________________________________ 11

Иррациональные числа_____________________________________ 12

Действительные числа______________________________________ 13

Степень с натуральным показателем__________________________ 14

Арифметический квадратный корень__________________________ 15

Степень с целым показателем________________________________ 16

Арифметический корень n – ой степени________________________ 16

Степень с рациональным показателем_________________________ 18

Свойства степени с действительным показателем________________ 18

Числовые выражения_______________________________________ 19

Решение задач____________________________________________ 19

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 21

ЗАДАНИЕ № 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ___________ 22

Одночлены и многочлены.__________________________________ 23

Стандартный вид одночленов и многочленов___________________ 23

Формулы сокращенного умножения__________________________ 25

Многочлены с одной переменной_____________________________ 25

Алгебраические дроби______________________________________ 27

Решение задач____________________________________________ 29

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 31

ЗАДАНИЕ № 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ________________________ 32

Основные определения_____________________________________ 32

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений____ 32

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 35

ЗАДАНИЕ № 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ____________________________________________ 36

Основные  определения_____________________________________ 36

Линейные уравнения_______________________________________ 37

Квадратные уравнения. Теорема Виета________________________ 37

Иррациональные уравнения_________________________________ 40

Решение задач____________________________________________ 41

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 46

ЗАДАНИЕ № 5. ЛОГАРИФМЫ. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ______________________ 47

Основные определения_____________________________________ 47

Решение задач____________________________________________ 49

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 53

ЗАДАНИЕ № 6. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 54

Основные определения_____________________________________ 54

Решение задач____________________________________________ 55

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 57

ЗАДАНИЕ № 7. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ____________________________________________ 58

Основные определения_____________________________________ 58

Решение задач____________________________________________ 60

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 64

ЗАДАНИЕ № 8. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ__________________ 65

Основные определения_____________________________________ 65

Решение задач____________________________________________ 67

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 70

ЗАДАНИЕ № 9. ПЛАНИМЕТРИЯ__________________________ 71

Основные определения_____________________________________ 71

Решение задач____________________________________________ 80

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 83

ЗАДАНИЕ № 10. ЗАДАЧИ С МОДУЛЕМ ФУНКЦИИ_________ 84

Основные определения_____________________________________ 84

Решение задач____________________________________________ 84

Задания для самостоятельной подготовки______________________ 86

Примерный вариант экзаменационного билета__________________ 87

ЛИТЕРАТУРА____________________________________________ 94

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие предназначено для абитуриентов факультета подготовки инженеров пожарной безопасности Уральского института ГПС МЧС России. Оно написано в соответствии с программой для поступающих в высшие образовательные учреждения.

Первая часть учебного пособия содержит теоретический материал и решение практических задач, относящихся к первым пяти примерам экзаменационного билета. Все задачи, подготовленные для самостоятельной работы, снабжены ответами.

Приступая к решению намеченных задач, сначала попробуйте самостоятельно решить те задачи, решение которых приведено в учебном пособии. В случае затруднения постарайтесь разобраться в предложенных решениях: уяснить теоретическую основы применяемых методов и логику рассуждений. Также следует обращать внимание на оформление решения задачи.

При использовании учебного пособия следует иметь в виду, что оно не может полностью заменить учебника: большая часть материала дается без доказательства.

Также следует отметить, что учебное пособие отличается достаточной степенью подробности в изложении материала. Вводимые математические понятия и методы решения задач проиллюстрированы примерами. Ввиду этого учебное пособие может быть использовано и для повторения школьного курса математики.

Ниже приведен один из вариантов билета вступительного письменного экзамена по математике.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ЗАДАНИЕ № 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Арифметические действия над целыми числами

Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначаются с помощью десяти знаков цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Множество натуральных чисел бесконечно. Оно имеет наименьшее число – единицу, но не имеет наибольшего числа.

Все натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, … Совокупность чисел 0, 1, 2, 3, 4,… образует множество целых чисел.

Над целыми числами устанавливаются действия сложения и умножения, которые обладают следующими основными свойствами:

1) переместительное свойство сложения:  а + в = в + а;

2) сочетательное свойство сложения: (а + в) + с = а + (в + с);

3) переместительное свойство умножения: а * в = в * а;

4) сочетательное свойство умножения: (а * в) * с = а *(в * с);

5) распределительное свойство умножения относительно сложения:

(а + в) * с = а * с + в * с.

Основные свойства остаются справедливыми для любого конечного числа слагаемых и сомножителей.

Используются также следующие свойства:

6) свойство нуля при сложении: а + 0 = а;

7) свойство нуля при умножении: а * 0 = 0;

8) свойство единицы при умножении: а * 1 = а.

Вычитание и деление определяются как действия, обратные сложению и умножению.

Вычесть из числа а число в – значит найти такое число с, которое в сумме с числом в даст число а:

с = а – в, если в + с = а.

Число с называется разностью чисел а  и в. Для целых чисел вычитание всегда выполнимо и единственно, т.е. для любых а и в существует и притом единственная разность