Применение метода коечных элементов для анализа напряжений в клиновом гасителе колебаний

УДК 612.81.004

Коржин С.Н.                                                                        МИИТ

Меланин В.М.

Применение метода коечных элементов для анализа напряжений в клиновом гасителе колебаний

Для проведения анализа напряжений клинового гасителя колебаний использован метод конечных элементов (МКЭ).

МКЭ широко применяется во многих научных и инженерных приложениях. Основная идея МКЭ состоит в том, что рассматриваемая конструкция разделяется на ряд простейших по форме частей – элементов. Разбиение конструкции на конечные элементы является первой операцией метода конечных элементов. Несовершенное разбиение будет приводить к значительным погрешностям расчета, если даже все операции метода выполнены с достаточной точностью.

          Для аппроксимации геометрии  клина из библиотеки программы ANSYS был выбран объемный 10-ти узловой квадратичный конечный элемент в виде тетраэдра (рис 1).

Рисунок 1.

Поле поступательных перемещений внутри конечного элемента описывается функцией формы в виде полного полинома второго ряда с десятью универсальными координатами, то есть всего 30-ть поступательных степеней свободы, по три  в каждом узле . Связи между перемещениями в произвольной точке элемента и узлах заданы следующим способом :

где     N_i (i = 1, 2, … 10) - интерполяционные функции, которые в системе

естественных координат представлены следующими выражениями:

 ;

;;;

где

   u_i , v_i и w_i – узловые поступательные перемещения (степени свободы) вдоль осей X, Y и Z соответственно;

        , ,  и  - нормализованные координаты, возрастающие от 0.0 в вершине к 1.0 на противоположной стороне или грани.

Узел	L1	L2	L3	L4
1	1	0	0	0
2	0	1	0	0
3	0	0	1	0
4	0	0	0	1
5	½	1/2	0	0
6	0	1/2	1/2	0
7	½	0	1/2	0
8	½	0	0	1/2
9	0	1/2	0	1/2
10	0	0	1/2	1/2

Далее используя формулы Коши , определяется вектор деформации следующим образом

,

где    

           - матрица градиентов.

Для вычисления матрицы жесткости [K_e] используют, как правило, известную формулу:

где     [D] - матрица упругих характеристик материала

Так как вся конструкция состоит из совокупности элементов, то матрицы жесткости отдельных конечных элементов объединяются в суммарную матрицу, характеризующую всю систему.

где     N - число конечных элементов в системе.

Разрешающая система алгебраических уравнений метода конечных элементов в матричной записи принимает следующий вид:

или

где     [K] - суммарная матрица жесткости системы;

          {u} - вектор узловых перемещений;

          {F^r} - вектор реактивных нагрузок;

          {F^а} - суммарный вектор активных нагрузок;

,

где     {F^nd} - вектор узловых нагрузок;

          {F_e^pr} - вектор распределенного давления, прикладываемого к элементам.

Полученная система уравнений решалась "фронтальным" методом /1/.

1.  Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов/ Пер. с англ. А. С. Алексеева и др.; Под ред. А. Ф. Смирнова. – М.: Стройиздат, 1982 – 448 с.