Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия с рядами. Свойства абсолютно сходящихся рядов

220400                                                 Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 2. Лекция 12. Числовые ряды

План

1.  Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия с рядами.

2.  Необходимый признак сходимости. Ряд геометрической прогрессии. Гармонический ряд.

3.  Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнений.

4.  Достаточные признаки сходимости знакопостоянного ряда Даламбера, Коши, интегральный прзнак.

5.  Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

6.  Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимости ряда.

7.  Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Литература: Архипов А.И. с.347-387. Ильин В.А., т. 1, с.411 - 442. Ермаков В.И., с.320-330. Крамер В.Ш., с.356-377. 

1.  Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия с рядами.. 

Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида

,                                                                            (1)

где {a_n} = {a₁, a₂, …, a_n, …} - произвольная последовательность действительных или комплексных чисел, называемых членами ряда. Число a_n называются общим членом ряда (1).

Определение 2. Сумма a₁ + a₂,  + …+ a_n первых n членов ряда (1) называется n - частичной суммой ряд (1) и обозначается символом S_n: S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, …, .

Определение 3. Числовой ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм,  т.е. . При этом сам предел S последовательности его частичных сумм называется суммой ряда. В этом случае можно записывать

.                                                                                              (2)

Если предела не существует, то ряд называется расходящимся.

Определение 4. Произведением числового ряда (1) на число с называется ряд  .

Определение 5. Суммой (разностью) двух числовых рядов  называется соответственно ряды .

Определение 6. Произведением  двух числовых рядов  называется числовой ряд  .

Теорема 1. Если ряд (1) сходится и имеет сумму S, то ряд  , полученный умножением данного ряда на число c, также сходится и имеет сумму cS.

Теорема 2. Если ряды  сходится и имеет соответственно суммы S₁, S₂ , то ряды сходятся и имеют соответственно суммы S₁ + S₂ и S₁ - S₂.

Теорема 3. Если ряд сходится (1), то сходится и ряд, полученный из данного ряда путем отбрасывания (или добавления к ряду) конечного числа членов.

2. Признак Коши. Необходимый признак сходимости. Ряд геометрической прогрессии. Гармонический ряд.

Теорема 1(критерий сходимости Коши для ряда). Для того, что бы ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы для любого e нашелся такой номер N₀ , что для всех номеров n > N₀ и любых натуральных чисел p,  выполняется неравенство

.                                                                                         (3)

Доказательство. По определению ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходится его последовательность S_n частичных сумм. По критерию Коши для последовательностей она сходится тогда и только тогда, для любого e найдется такой номер N₀ , что для всех номеров n > N₀ и любых натуральных чисел p,  выполняется неравенство|S_n+p - S_n|< e., что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство. Так как последнее неравенство равносильно неравенству (3), то отсюда следует утверждение теоремы 1.

Ряд называется  n-м остатком ряда (1).

Теорема 2(необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (1) сходился, то предел общего члена a_n ряда при n ®¥ равен нулю, т.е. .

Следствие(достаточный признак расходимости ряда). Если предел общего члена a_n ряда при n ®¥ не равен нулю, то ряд расходится.

Исследуем сходимость ряда

,                                                   (4)

который называется рядом геометрической прогрессии.

.

Теорема 3. Ряд (4)  геометрической прогрессии  сходился при |q| < 1 и расходится при |q| ³ 1.

Исследуем сходимость ряда

,                                                   (4)

который называется гармоническим рядом при p = 1, обобщенным гармоническим рядом для произвольного р.

Теорема 3. Гармонический ряд расходится. Обобщенный гармонический ряд сходился при p > 1 и расходится при p £ 1.

Доказательство. Если гармонический ряд сходится, то для любого e, в том числе для e = 0,5 , найдется такой номер N₀ , что для всех номеров n > N₀ и любых натуральных чисел p,  выполняется неравенство . Возьмем и тогда получим

.

Это дает противоречие со сказанным выше. Теорема доказана.

3. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнений. Ряд, все члены которого больше или равны нуля, называется рядом с неотрицательными членами. Если все члены ряда больше нуля, то ряд называется рядом с положительными членами.

Теорема 1. Ряд с положительными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ряда ограничена.

Доказательство. Необходимость. Если ряд (1) сходится, то сходится его последовательность S_n частичных сумм. Тогда по теоремы об ограниченности сходящейся числовой последовательности S_n ограничена.

Достаточность. Для ряда с положительными членами S_n+1 > S_n , последовательность S_n его частичных сумм возрастает, и по теоремы о существовании предела монотонной ограниченной последовательности существует предел . Тогда ряд сходится.

Теорема 2 (признак сравнений). Пусть даны два ряда с положительными членами, при чем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда . т.е. при любом n имеем a_n£b_n. Тогда

1)  если сходится второй ряд, то сходится и первый ряд;

2)  если расходится первый ряд, то расходится и второй.

Доказательство. 1) Если ряд (2) сходится, то существует предел последовательность S_n'' его частичных сумм, . По условию частичные суммы S_n' первого ряда не превосходят частичных сумм S_n'',  второго ряда, S_n'£ S ''. Тогда последовательность S_n' по теоремы об ограниченной монотонной последовательности сходится и ряд (1) сходится. Методом от противного доказывается вторая часть теоремы.