Линейные операторы. Определение линейного оператора и его свойства. Матрица линейного оператора

220400                   Алгебра и геометрия                    Толстиков А.В.

Лекции 14. Линейные операторы.

План

Определение линейного оператора и его свойства. Матрица линейного оператора.

1.  Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.

2.  Операции над линейными операторами.

3.  Характеристическое уравнение линейного оператора.

4.  Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, и их связь с корнями характеристического уравнения.

5.  Линейные операторы  с простым спектром.

Рекомендуемая литература

1.  Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3.  Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4.  Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5.  Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

6.  Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

Линейные операторы

1.  Определение линейного оператора и его свойства. Матрица линейного оператора. Пусть V  - векторное пространство над полем P.

Определение 1. Линейным оператором A в векторном пространстве Vназывается отображение A векторного пространства V в V обладающее свойствам:

(1)  (" a, b Î L)  A(a + b) = Aa + Ab;                                              

(2)  (" a Î L) (" a Î R) A(aa) =a( Aa).

Свойство 1. Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор: A0 = 0.

Свойство 2. Линейный оператор переводит противоположный вектор в соответствующий противоположный вектор: A(-a) =- Aa.

Свойство 3. Линейный оператор переводит линейную комбинацию векторов в соответствующую линейную комбинацию образов этих векторов: A(a₁a₁ + a₂a₂ + …+a_ka_k ) = a₁ Aa₁ + a₂ Aa₂ + …+a_k Aa_k.

Свойство 4. Линейный оператор переводит линейно-зависимую систему векторов в линейно-зависимую систему векторов.

Матрица линейного оператора. Пусть v =(v₁, v₂, …, v_n) - базис векторного пространства V, A - линейный оператор в векторном пространстве V. Разложим образы Av₁, Av₂, …, Av_k векторов базиса по векторам того же  базиса:

Av₁ = a₁₁ u₁ + a₂₁ u₂ + ... + a_m1 u_m , Av₂ = a₁₂ u₁ + a₂₂ u₂ + ... + a_m2 u_m ,. . ., Av_n = a_1n u₁ + a_2n u₂ + ... + a_mn u_m .   

Определение 2. Матрицей линейного оператора A в данном базисе называется  матрица

 А = , столбцы которой есть координатные строки образов базисных векторов векторного пространства V, выраженные через тот же базис.

Лемма 1. Пусть v₁, v₂, ..., v_n базис векторного пространства V, a₁, a₂, ..., a_n - произвольная система векторов из U. Тогда существует линейный оператор A векторного пространства V, при котором Av₁ = a₁, Av₂ = a₂, ..., Av_n = a_n.

Теорема 1.Пусть V -  векторное пространство над полем Р размерности n. При выбранном базисе существует взаимно-однозначное  соответствие между множеством линейных операторов V множеством М_n(P) матриц порядка  n  с элементами из поля Р.

Пусть а = v(x₁, x₂, ..., x_n) ^t . Тогда Aa = vA_j (x₁,  x₂, ..., x_n) ^t . Отсюда получаем следующие формулы преобразования координат:

,

где Aa = v (x¢₁, x¢₂, ..., x¢_n)  координатный столбец вектора Aa в данном базисе.

2.  Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.

Определение 1. Матрицы A  и B называются подобными, если существует такая матрица T, что B  = T ^-1 A T.

Теорема 1. Матрицы линейного оператора A векторного пространства V  - подобны, т. е. если A  и B матрицы линейного оператора j  соответственно относительно базисов v = (v₁, v₂, ..., v_n) и u = (u₁, u₂, ..., u_n)  векторного пространства V, T- матрица перехода от первого базиса ко второму, то B  = T ^-1 A T .

Лемма 1. Пусть v = (v₁, v₂, ..., v_n) - базис векторного пространства V, A  и С -  матрицы размерности n´ m. Если vA = vС, то A = С.

Доказательство теоремы. Пусть  T = (t_ij) - матрица перехода от первого базиса. По определению матрицы перехода от базиса v к базису u имеем u = vT . По определению матрицы линейного оператора имеем

A(u) = (Au₁, Au₂, ..., Au_n) = (u₁, u₂, ..., u_n)B = uB = (vT)B =v(TB) .                                (1)

С другой стороны

A(u) == (Au₁, Au₂, ..., Au_n)=(A(t₁₁ v₁ + t₂₁ v₂ + ...+ t_n1 v_n), A( t₁₂ v₁+ t₂₂ v₂  + ...+ t_n2 v_n), ..., A( t_1n v₁ + t_2n v₂ + ...+ t_nn v_n)) =

=(t₁₁Av₁+ t₂₁Av₂ + ...+ t_n1Av_n, t₁₂Av₁+ t₂₂Av₂  + ...+ t_n2v_n, ..., t_1nAv₁+ t_2nAv₂  + ...+ t_nnAv_n) =

=(Av₁, Av₂, ..., Av_n)T = (v₁, v₂, ..., v_n)AT = vAT.                                                        (2)

Так как левые части равенств (1) и (2) равны, то получаем

v(TB) = vAT.                                                                                           (3)

По лемме следует TB = AT. Так как матрица перехода T от одного базиса векторного пространства невырожденная, то она имеет обратную матрицу T ^-1, то находим B  = T ^-1 A T. 

3.  Операции над линейными операторами. Пусть A, B - линейные операторы в векторном пространстве V, A, B - соответственно матрицы линейных операторов A, B относительно одного базиса v.

Определение 1. СуммойA + B линейных операторов A и B векторного пространства V называется отображение V в V, определенное для любого вектора, а из V по формуле: (A + B)а = Aа+ Bа.

Определение 2. Произведение aA числа a на линейный оператор A векторного пространства V называется отображение V в V, определенное для любого вектора, а из V по формуле: (aA)а = a(Aа).