Элементы векторной алгебры. Базис геометрического векторного пространства

220400             Алгебра и геометрия           Толстиков А.В.

Лекции 5. Элементы векторной алгебры

План

1. Геометрические векторы и операции над ними
2. Базис геометрического векторного пространства

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 7-22.

2. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 72-87

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 16-26.

4. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 148-156.

§ 1. Геометрические векторы

1. Скалярные и векторные величины. Если физическая или ге0метрическая величина характеризуется только одним неотрицательным числом, то она называется скалярной. Например, длина отрезка, площадь фигуры, объем тела, масса тела и т.д. скалярные величины.

Если физическая или геометрическая величина характеризуется не только и численным значением и направлением, то она называется векторной.  Например, скорость, ускорение, сила и т.д. векторные величины.

2. Сонаправленность лучей. Любая точка A принадлежащая прямой a делит ее на две части. Лучом называется часть прямой a,  расположенная по одну сторону от точки A. Точка A называется началом луча. Если точка B принадлежит лучу, то он обозначается двумя точками AB. 

Определение 1. Два луча AB и CD называются сонаправленными, если либо один из лучей содержится в другом луче, либо они лежат на параллельных прямых по одну сторону от прямой AC (см. рис. 1). Обозначаем AB CD. Лучи AB и KL называются противоположно направленными, если луч сонаправлен с лучом дополнительным к лучу KL. Обозначаем AB ¯KL.

На рис 1. лучи AB, CD, EF сонаправленные, а лучи AB, KL - противоположно направленные.

Теорема 1. Отношение сонаправленности лучей есть отношение эквивалентности, т.е. для любых лучей AB, CD, EF выполняются свойства:

1)  AB CD - рефлексивность,

2)  AB CD Þ CD AB - симметричность,

3)  AB CD & CD EF Þ AB EF - транзитивнсть.

Доказательство. Первое и второе свойства, непосредственно следуют из определения сонаправленных лучей. Докажем третье свойство.

Пусть AB CD & CD EF. Рассмотрим только один случай, когда лучи AB, CD, EF не лежат в одной плоскости (остальные случаи предоставляем рассмотреть самостоятельно).

Из условия следует, что лучи AB, CD, EF лежат на разных параллельных прямых. Тогда точки A, C, E не лежат на одной прямой и рассмотрим плоскость a, проходящие через эти три точки, но ни один из лучей не лежит в плоскости (см. рис. 2). Рассмотрим прямые AC, CE, EA, которые лежат в плоскости a. Так как AB CD и CD EF, то лучи AB  и CD и лежат по одну сторону от прямой AC и от плоскости a, лучи CD и EF лежат по одну сторону от прямой CE и от плоскости a. Таким образом лучи AB и EA лежат по одну сторону от плоскости a и поэтому по одну сторону от прямой EA. Следовательно, по определению 1 CD EF.   (убрать)

2. Лучи AB, CD, EF лежат в одной плоскости b, на разных параллельных прямых. Рассмотрим тогда четвертый луч KL, сонаправленный с лучом CD и не лежащий в плоскости b. Так как AB CD & CD KL, то по случаю 1 AB KL. По свойству 2, KL CD.Так как KL CD & CD EF, то по случаю 1 KL EF. Так как AB KL & KL EF, то по случаю 1 AB EF.

Так как отношение сонаправленности лучей является отношением эквивалентности, то множество всех лучей разбивается на классы эквивалентности, каждый из которые состоят из всех лучей сонаправленных друг другу, и называется направлением.

3. Направленные отрезки. Пусть A и B различные точки принадлежащие прямой a. Отрезком AB называется часть прямой a,  расположенная между точками A и B. Точка A и B называется концами отрезка AB.

Определение 3. Направленным отрезком называется отрезок AB, обозначаемый символом , у которого один конец A считается первым, а конец В вторым. Первый конец называется началом, а второй - концом направленного отрезка.

На чертеже направленный отрезок  изображается стрелкой, идущей из точки A в точку B.

Если конец и начало направленного отрезка совпадают, то он называется нулевым направленным отрезком и изображается на чертеже точкой.

Определение 3. Два направленных отрезка  и  называются сонаправленными (противоположно направленными), если лучи AB и CD  сонаправлены (противоположно направлены), обозначаем символом ( ¯).

Определение 4. Длиной или модулем направленного отрезка  называется отрезка AB, обозначается символом

Определение 5. Два направленных отрезка  и  называются равными, если они сонаправлены, , и их длины равны,  =, обозначается символом  =

Теорема 2. Отношение равенства направленных отрезков есть отношение эквивалентности, т.е. для любых направленных отрезков , ,  выполняются свойства:

1)  = - рефлексивность,

2)   =  Þ =  - симметричность,

3)   =   &  = Þ   - транзитивнсть.

Доказательство. Докажем свойство 3, первое и второе свойства доказываются аналогично. По условию  =   &  = . Тогда по определениям 3-5 имеем AB CD, CD EF и  =, =. По теореме 1 и по свойству длины отрезка имеем