Методы первого порядка. Задачи и методы условной оптимизации нелинейного программирования, страница 12

Можно образовать много функций, обладающих указанными свойствами. Ими обладает, например, функция, задающая штраф в виде

                                                                           _m             

H(X) = å(max( g_i(x), 0 )) ^p,                                          ( 4.51)

ⁱ⁼¹

где p ³1 -некоторое фиксированное число [4]. Такой штраф равен нулю в ОДР (при выполнении неравенств g_i (X) £ 0 ) и отличен от нуля вне этой области (при этом его значение тем больше, чем в большей степени нарушены неравенства).  

При p=1 штраф вида  (4.51) называется функцией срезки [44] (рис. 4.19.б), а при  p = 2 –  квадратом срезки [20] (рис. 4.19.с). Второй вид штрафа часто обозначается специальным символом  < g_i (X) > ² . 

Процедура оптимизации при использовании таких функций штрафа начинается с выбора некоторой недопустимой  точки. Далее решается последовательность задач безусловной оптимизации функций R(X) при увеличивающемся  значении a. (Первоначальное значение a определяется опытным путем). Последовательность стационарных точек задачи безусловной оптимизации функции R(X) с рассматриваемыми штрафными функциями сходится к оптимальному плану задачи (4.47).

З а м е ч а н и е  4.33. Поскольку при использовании таких штрафных функций текущая точка (отражающая начальные и оптимальные планы задачи безусловной оптимизации) находится вне допустимой области (ОДР) и лишь в пределе дает оптимальный план, то использующие их методы называют методами  внешней точки.

В рамках методов штрафных функций выделяется также разновидность методов, предполагающих использование штрафов специального вида, называемых барьерными  функциями  (поверхностями).

Наибольшее применение находят следующие барьерные функции:

1)  обратная функция

H(X) =  1 /  S  g_i(X)                                                  ( 4.52 )

2)  логарифмическая функция

H(X) =  - S ln(g_i(X))                                                  (4.53)

Вид таких функций (при ограничениях  g_i(X) £ 0 ) при n=1 и m=1 приведен на рис. 4.20.а   и  4.20.б

Рис. 4.20.

(Из рисунка видно, что имеются точки, в которых такие функции не определены).

При использовании таких функций предполагается, что точка все время находится внутри  допустимой области. При приближении к границе изнутри области (при g_i (X)® 0) штраф становится очень большим. Таким образом, вдоль границ допустимой области образуются своеобразные барьеры.

З а м е ч а н и е  4.34. Поскольку при использовании барьерных функций текущая точка (отражающая начальные и оптимальные планы задачи безусловной оптимизации) находится внутри допустимой области (ОДР), то использующие их методы называют методами  внутренней  точки.

Построив барьерную функцию и определив начальную внутреннюю точку, приступают к процедуре минимизации R(X) при некотором начальном значении a. Такая процедура носит итерационный характер. При этом осуществляется последовательное уменьшение значения a. Кроме того, стационарная точка, определенная на некоторой итерации, принимается в качестве начальной для следующей итерации.

З а м е ч а н и е 4.35. Методы, использующие барьерные функции,  требуют  гибкого подхода к изменению значений коэффициента a, поскольку при их численной реализации может возникнуть “перескок” текущей стационарной точки задачи безусловной оптимизации через барьер. Для обеспечения точности метода при подходе к барьеру скорость изменения a (задаваемая коэффициентом b) должна быть замедлена.

З а м е ч а н и е  4.36  Общей особенностью вычислительной процедуры решения задач методом штрафных функций является ухудшение процесса сходимости  при решении вспомогательных задач безусловной оптимизации. Это вызвано увеличением “овражности” штрафных функций R(X)_k  при  увеличении k.