Числовые ряды. Сходимость числового ряда, страница 2

Здесь мы установим несколько достаточных признаков, позволяющих доказывать сходимость (или расходимость) числовых рядов с положительными членами.

Теорема 5 (признак сравнения). Пусть даны два ряда:  и , причём

a_n ³ b_n ³ 0 ,       n = 1, 2, 3, … .

Тогда, если сходится, то и  сходится.   Если  расходится, то и   расходится.

Доказательство.  Пусть S_n – частичные суммы ряда  , S¢_n– частичные суммы ряда . Если ряд  сходится, то существует конечный предел  S = lim S_n.Так как {S_n} – возрастающая последовательность, то   S_n £ S  ("n). Из условия следует, что S¢_n£ S_n £ S.  Поэтому  S¢_n – возрастающая ограниченная сверху последовательность. По теореме Вейерштрасса (см. 1.4.2) она имеет предел.  Значит, ряд     сходится.

Если же  расходится, то  не может сходиться (иначе, как мы доказали, сходился бы), т.е. расходится.

Замечание. Признак сравнения можно применять и в том случае, если неравенство a_n ³ b_n  выполняется не для всех  n,  а лишь начиная с некоторого номера. Действительно, по теореме 1, сходимость ряда не зависит от величины первых нескольких слагаемых.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Так как , а ряд  расходится, то, по признаку сравнения,   тоже расходится.

Теорема 6 (предельный признак сравнения). Даны два ряда: , , причём a_n ³ 0,  b_n > 0.  Вычислим предел   .   Если   А – конечное ненулевое число, то или оба ряда сходятся, или оба ряда расходятся.

Доказательство. По определению, равенство      означает, что .

Последнее неравенство можно записать так:

,  или    .

Учитывая, что  b_n > 0, получим: начиная с некоторого  n₀

(A – e) b_n <  a_n  < (A + e) b_n.

Допустим, что сходится. Тогда, по признаку сравнения, сходится ряд . (Можно взять e таким, чтобы  A – e> 0). Постоянный множитель   A – e,  по теореме 2, не влияет на сходимость ряда.  Значит, сходится. Аналогично, если   расходится, то расходится  и, следовательно,  . Теорема доказана.

Пример 6 .  Исследовать сходимость ряда   .

Решение. В примере 5 мы установили, что  расходится. Пусть ,   . Вычислим предел отношения:

.

По теореме 6 «ряды ведут себя одинаково».  Значит,  расходится.

Замечание. В теореме 6 ничего не говорится о случаях, когда A = 0 или A = ¥. Однако можно, анализируя доказательство, сделать полезные выводы и в этих случаях. Пусть, например, A = 0. Используя то, что, начиная с некоторого номера, a_n < (A+e)b_n, получаем: если расходится, то расходится и . А если сходится, то сходится и  . Можно использовать и такое очевидное соображение: равенство , означает, что a_n = o(b_n) , т.е. a_n стремится к 0 «быстрее», чем b_n. Значит, из сходимости   вытекает сходимость  .

Аналогичные рассуждения можно провести и в случае  A = ¥.

Теорема 7 (признак Даламбера). Дан ряд  , причём  a_n > 0. Вычислим предел

.

Если  p < 1,  то ряд сходится, если   p> 1,  то  ряд расходится.

Доказательство. Пусть p< 1. Возьмём число q, лежащее между pи 1:  p< q < 1. Из определения предела следует, что . Это означает, что , т.е. ; , т.е. . Продолжая, получим:  Сравним ряд  с суммой геометрической прогрессии  (сходится, так как q<1). По признаку сравнения,  сходится. Значит, сходится и ряд    – ведь он отличается от    тем, что в   отброшены несколько первых слагаемых.

Если , то . То есть начиная с некоторого номера  a_k+1 > a_n.  В этом случае, конечно, нарушено необходимое условие сходимости. Так как , то ряд расходится.

Замечание. В признаке Даламбера ничего не говорится о возможности . В этом случае ряд может сходиться, а может и расходиться, т.е. нужно исследовать его другими методами. Например, гармонический ряд  расходится. Для него   .  Мы скоро убедимся, что ряд   сходится. А для него    .