Двойные интегралы. Теория функций комплексной переменной. Функциональные ряды

Проделаем построение, типичное для определенного интеграла (см. рис.9.3).

Рис. 9.3 К построению понятия двойного интеграла

1. Разобьем область D на части кривыми, имеющими площадь 0. С каждым кусочком свяжем следующие величины:

а) площадь   i-го кусочка (сам кусочек будем обозначать ());

б) величину , называемую диаметром этого кусочка, и определяемую как

.

По сути дела,  есть максимальное расстояние между точками i-го кусочка области D.

в) наконец, введем величину .

2. На каждом кусочке произвольным образом выберем некоторую точку , которую будем называть «средней точкой», и составим интегральную сумму

.

3. Сделаем предельный переход . Если существует  и этот предел не зависит от способа разбиения области D на части от способа выбора средней точки, то он называется двойным интегралом от функции  по области D и обозначается так

.

9.4.2 Свойства двойного интеграла

Ниже приведены основные свойства двойного интеграла.

1. ;

2. ;

3. Если Æ при i ¹j, то

;

4. ;

5. ;

6. Если , то , где  ‑ площадь области D;

7. Если , то существует m такое, что  и

.

В частности, если  непрерывна в области D, то существует точка  такая что

.

9.4.3 Вычисление двойных интегралов

Приведем лишь формулу для вычисления двойных интегралов по области в виде криволинейной трапеции (см. рис. 9.4).

Рис. 9.4 Область интегрирования в виде криволинейной трапеции

Теорема. Если существует  и  существует , то существует  и имеет место равенство

.

9.4.4 Формула Грина

Пусть имеется односвязная область D окруженная контуром L. Пусть в этой области определены две функции  и , имеющие непрерывные производные  и  (см. рис. 9.5).

Рис. 9.5 Иллюстрация к формуле Грина

Тогда имеет место формула

, называемая формулой Грина. Она дает связь между криволинейным интегралом второго рода по замкнутому контуру (символ  означает криволинейный интеграл по замкнутому контуру; при этом считается, что контур обходится так, что его внутренняя часть находится слева) и двойным интегралом по области, которую этот контур ограничивает.

9.4.5 Замена переменных в двойном интеграле

Пусть нам необходимо вычислить двойной интеграл  по некоторой области D. Для возможного упрощения вычислений сделаем замену переменных , переходя от «старых» переменных x, y к «новым» переменным x, h. В дальнейшем будем предполагать, что  и  непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x и h. Кроме того, предполагается, что эта система может быть однозначно разрешена относительно x и h: , то есть соответствие  взаимно однозначное.

Рис. 9.6 Соответствие областей Dи D

Тогда система  каждой точке  ставит в соответствие точку  на плоскости xOh, и это соответствие взаимно однозначное. Тем самым область D отображается в некоторую область D на плоскости xOh.

Сама формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид

, где величина  равна

.

Она называется якобианом перехода от переменных x, y к переменным x, h.

10 Теория функций комплексной переменной

10.1 Комплексные числа

В математике большую роль играют так называемые обратные операции, необходимость выполнения которых обычно приводит к расширению классов имеющихся объектов.

Например, операция сложения. Когда-то люди не знали отрицательных чисел. Складывая положительные числа, в ответе всегда получались положительное число. Но обратная операция – вычитание – привела к необходимости рассматривать числа отрицательные.

Операция умножения. Перемножая целые числа, в ответе всегда получаем также целые числа. Обратная операция – деление ‑.приводит нас к необходимости рассматривать дробные, рациональные числа.

Операция возведения в квадрат. Квадрат рационального числа есть всегда также число рациональное. Но обратная операция – извлечение квадратного корня – приводит к иррациональным числам (, например, не является рациональным числом).

Но та же самая операция извлечения квадратного корня дает и еще один класс чисел. Как известно, квадрат любого рационального числа есть число неотрицательное. Поэтому и квадратный корень можно извлечь только из неотрицательных чисел (например, ). А как быть с ? Чему он равен? Ведь нет такого рационального числа