Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Мера Жордана, страница 5

Возьмём один квадратик слева и рассмотрим фигуру, в которую он переходит (её можно назвать криволинейным параллелограммом).

Пренебрегая бесконечно малыми величинами более высоких (по сравнению с h) порядков, заменим «секущий» вектор

(x(u+h, v)–x(u, v),   y(u+h, v)–y(u,v))

на касательный вектор  .     Аналогично,   «секущий»      вектор  (x(u,v+h)–x(u,v),  y(u,v+h)–y(u,v))  заменим на касательный вектор   .

Найдём площадь параллелограмма, построенного на касательных векторах:

.

(Сначала вычисляется векторное произведение, затем его модуль, равный площади параллелограмма). Можно доказать, что площадь «криволинейного параллелограмма» отличается от вычисленной на бесконечно малую более высокого порядка, чем h², т.е. равна

h²|D| + e(h)×h²  =  (|D| + e(h))h²,    где    .

Рассмотрим интегральную сумму для нашего разбиения области Е (включая в неё лишь те параллелограммы, которые целиком принадлежат области):

Первое слагаемое здесь – интегральная сумма для интеграла  соответствующая рассматриваемому разбиению Е¢ на квадраты. Второе слагаемое стремится к 0 при неограниченном измельчении разбиения. Действительно, функция f непрерывна на компактном множестве, а следовательно ограничена:  . Поэтому

при  h®0.  Переходя к пределу при  h®0,  получим требуемую в теореме формулу.

Наиболее часто мы будем использовать замену переменных, связанную с переходом от декартовой системы координат к полярным координатам. Напомним: декартова и полярная система координат называются согласованными, если полюс совпадает с началом декартовой системы, а полярная ось – с осью OX. В этом случае декартовы  x, y  и полярные r, jкоординаты одной и той же точки связаны формулами:

x= rcosj,y= rsinj.

Вычислим якобиан такой замены переменных:

Формула, рассмотренная в теореме 7, принимает вид:

(Здесь можно не вводить новое обозначение для области интегрирования – область Е остаётся неизменной, лишь её точки приобретают новые координаты). Как правило, сначала выполняется интегрирование по r(в пределах, зависящих в общем случае от j), а затем интегрирование по углу j– в пределах его наибольшего изменения:

.

Пример 3. Вычислить , если область Е ограничена окружностями  x²+y² = 2x,   x²+y² = 4x.

Решение. Выделяя полные квадраты, уравнения окружностей можно записать так:

(x–1)²+y² = 1, (x–2)²+y² = 4.

Теперь легко изобразить окружности, представить требуемую область Е. Однако для того, чтобы вычислить интеграл в полярной системе координат,  нам  нужно  эти уравнения тоже записать в полярных координатах. Подставляя   x= rcosj,y= rsinj,получим уравнения

r= 2 cosj,r= 4 cosj.

Угол j, очевидно, может принимать значения от   до  . Переходим в полярную систему и вычисляем интеграл:

.

В тройных интегралах замена переменных проводится по аналогичной формуле:

.

Наиболее часто приходится использовать переход в цилиндрическую или сферическую системы координат. Цилиндрические координаты точки – это полярные координаты  r и  j её проекции на плоскость  XOY,  а также аппликата  z. Таким образом, переход в цилиндрическую систему координат проводится по формулам:

x= rcosj,y= rsinj,z= z.

Легко подсчитать, что якобиан такого преобразования равен r. В большинстве случаев использование цилиндрических координат равносильно интегрированию по переменной z, а затем переходу в полярную систему координат в полученном двойном интеграле.

Пример 4. Вычислить , если тело Т ограничено конической поверхностью  x²+y² = z²  и плоскостью  z= 1.

Решение. Сделаем рисунок. Можно интегрировать по z (zизменяется от конуса, на котором  , до плоскости z= 1), а затем, в двойном интеграле по кругу, перейти к полярным координатам. Или, что то же самое, перейти в цилиндрическую систему:

.

            Важную роль играет сферическая система координат. В этой системе положение точки Р задаётся числами  r,j,q, причём  r= |OP| – расстояние от точки до начала координат  (r ³ 0),  j–полярный угол проекции  А точки   Р на   плоскость       XOY (0 £ j< 2p),   q– угол между вектором   и плоскостью  XOY  . Рассматривая соответствующие треугольники,    легко     видеть,     что    ,   а