Приближенное решение уравнений. Отделение корней

 3 Приближенное решение уравнений.

п1. Отделение корней.

Чтобы приближенно найти действительные корни уравнения

f(x)=0 (1)

надо сначала отделить корни, то есть установить возможно тесные промежутки [a,b], в которых содержится один и только один корень уравнения.

Если примерное поведение функции y=f(x) известно (например, есть эскиз ее графика), то уже можно приблизительно установить, в каких интервалах уравнение (1) имеет корни.

В тех случаях, когда функция f(x) является непрерывной, отделение корней рекомендуется начинать с определения знаков функции f(x) в граничных точках x₁ и x₂ области ее существования. При этом, если в точках x₁ и x₂ эта функция имеет противоположные знаки, то по свойству непрерывных функций в интервале [x₁,x₂] имеется корень уравнения (1). Далее делим интервал [x₁,x₂] на составляющие интервалы, определяем знаки функции f(x) на концах каждого из них и отмечаем те из интервалов, на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки. Так как нам нужно определить интервалы с единственным корнем уравнения f(x)=0, то мы находим производную и выясняем, сохраняет ли она знак в каждом из отмеченных интервалов. Если она сохраняет знак в отмеченном интервале, то функция f(x) в этом интервале [a,b] монотонна, и график ее пересекает ось абсцисс только один раз, то есть интервал [a,b] является интервалом изоляции корня, и, значит, корень уравнения (1) отделен. Если же знак производной в отмеченном интервале не сохраняется, то мы повторяем для этого интервала тот же процесс деления, какой выполняли для отрезка [x₁,x₂].

Замечание. В ряде случаев для отделения корней выгодно заменить уравнение f(x)=0 равносильным ему уравнением , где функции и более простые, чем функция f(x). Построив графики функций и найдем интервалы изоляции корня. Корнем в данном случае будет абсцисса точки пересечения графиков функций и .

Пример: Отделить корни уравнения x³-3x²-13x-7=0 графически с точностью e =1 и уточнить интервалы изоляции корней аналитически с точностью e =0.2.

Решение: Приведем уравнение к виду x³=3x²+13x+7. Построим графики функций y₁= x³, y₂=3x²+13x+7.

y₁= x³ - кубическая парабола;

y₂=3x²+13x+7 - парабола, "ветви" вверх, вершина .

Точки пересечения с осями координат:

x=0 Þ y=7;

y=0 Þ 3x²+13x+7=0 Þ x_1> -3.70; x_2> -0.63.

Корни уравнения - это абсциссы точек пересечения графиков функций.

.

Выясним, есть ли еще корни. f(5)=-22<0, f(6)=23>0. Так как значения функции на концах интервала [5;6] противоположны по знаку, то функция имеет в этом интервале по крайней мере один корень.

В интервале [5;6] производная <0, следовательно, функция

y=x³-3x²-13x-7 в этом интервале монотонна и уравнение имеет единственный корень. То есть .

Уточним интервалы изоляции корней:

f(-2)=-1<0; f(-1.8)=0.848>0 Þ x_1Î [-2; -1.8];

f(-0.8)=0.968>0; f(-0.6)=-0.496<0 Þ x_2Î [-0.8; -0.6];

f(5.4)=-7.216<0; f(5.6)=1.736>0 Þ x_3Î [5.4;5.6].

п.2. Метод половинного деления. (Метод проб. Дихотомия.)

Метод половинного деления чаще применяется для грубого нахождения корня уравнения (1), поскольку при увеличении точности объем вычислительной работы значительно возрастает. В то же время, этот метод является самым простым и легко реализуется на компьютере.

Интервал [a,b] изоляции корня уравнения f(x)=0 делим пополам точкой x₁, вычисляем значение f(x₁) и выбираем ту половину интервала [a,b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Проводим таким образом последовательное сужение интервала изоляции корня [a,b] достаточное число раз, получаем приближенное значение корня x^* уравнения f(x)=0 и одновременно оценку этого корня U<x^*<V, где [U,V] - последний интервал изоляции корня x^*. Продолжаем данный процесс до тех пор, пока разность между двумя последовательными приближенными значениями корня не станет меньше, чем требуемая степень точности.

Пример: Методом половинного деления найти корень уравнения

x³-3x²-13x-7=0 в интервале [-0.8;-0.6] с точностью e =0.001.

Решение: f(-0.8)=0.968; f(-0.6)=-0.496.

1) ; f(x₁)=f(-0.7)=0.287; [a,b]=[-0.7;-0.6]

2) x₂=-0.65; f(x₂)=-0.09213; [a,b]=[-0.7;-0.65]

3) x₃=-0.675; f(x₃)=0.10058; [a,b]=[-0.675;-0.65]

4) x₄=-0.6625; f(x₄)=0.00501; [a,b]=[-0.6625;-0.65]

5) x₅=-0.65625; f(x₅)=-0.04337; [a,b]=[-0.6625;-0.65625]

6) x₆=-0.65938; f(x₆)=-0.01910; [a,b]=[-0.6625;-0.65938]

7) x₇=-0.66094; f(x₇)=-0.00703; [a,b]=[-0.6625;-0.66094]

На концах последнего интервала значения исследуемой функции имеют противоположные знаки, следовательно можно принять . Длина интервала [-0.6625;-0.66094] равна 0.00156. Погрешность равна .

п.3. Метод хорд.

Метод хорд - один из простейших итерационных методов. Он является более быстрым, чем метод половинного деления и служит для уточнения корня x^* уравнения f(x)=0.