Чтобы можно было использовать этот метод,
функция f(x) должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой в интервале
[a,b]. При этом могут представиться различные сочетания знаков производных и
в интервале
изоляции корня x*, которые влияют на процесс отыскания приближенного
значения корня методом хорд.
Проведем хорду AB, дуги AB кривой y=f(x). Абсцисса x1 точки пересечения этой хорды AB с осью Ox будет первым приближением корня x*.
(2)
или (3)
или (4)
Интервал изоляции [a;b] корня x* можно сузить теперь до интервала [x1;b] в случаях I, II и до интервала [a;x1] в случаях III, IV. К новому интервалу изоляции [x1;b] или [a;x1] применим тот же прием проведения хорды. Для получения более точного второго приближения корня x*, следует определить f(x1).
Замечание. Знак f(x1) всегда противоположен знаку на [a;b].
(5)
в случаях I и II,
(6)
в случаях III и IV.
На этом этапе интервал изоляции корня x* можно сузить до интервала [x2;b] в случаях I, II и до интервала [a;x2] в случаях III, IV. Продолжая этот процесс, мы получаем все более точные значения корня x1, x2,? ,xk.
Выясним теперь когда какую формулу применять.
В случаях I, II и
имеют
одинаковые знаки на [a,b] (в I случае
; во II случае
), а в случаях
III и IV - противоположные (в III случае
; в IV случае
Алгоритм метода:
1. Находим и
. Определяем
знаки
и
на [a,b].
2. В случаях I и II применяем формулу
(7)
В случаях III и IV
(8)
Корень x* может быть вычислен
методом хорд с любой степенью точности. Погрешность , где m -
наименьшее значение модуля производной
в интервале
[a;b].
Пример: Методом хорд найти корень уравнения x3-3x2-13x-7=0 в интервале [-0.8;-0.6] с точностью e =0.0001.
Решение: f(x)=x3-3x2-13x-7, xÎ [-0.8; -0.6]. В этом интервале ,
(случай II),
поэтому будем применять формулу (7):
f(-0.8)=0.968; f(-0.6)=-0.496; x0=-0.8; b=-0.6.
; f(x1)> 0.04541;
; f(x2)> 0.00169;
; f(x3)> 0.00014;
x*> -0.66187.
п.4. Метод касательных. (Ньютона)
Метод касательных является одним из самых
эффективных методов приближенного вычисления корня. Также как и метод хорд,
метод касательных служит для уточнения корня x* уравнения f(x)=0,
для которого интервал изоляции [a;b] уже известен. Функция f(x) должна быть
непрерывной и дважды дифференцируемой в интервале [a;b]. При этом могут
представиться четыре различных сочетания знаков производных и
в интервале
изоляции корня x*.
Проведем -касательную в точке B для случаев I, II и в точке A для случаев III, IV к кривой y=f(x). Абсцисса x1 точки пересечения касательной с осью Ox будет равна
(9)
или (10)
соответственно.
Замечание. Значение x1 может не принадлежать
интервалу изоляции [a;b]. Поэтому надо правильно выбрать, в каком именно из
концов дуги AB следует провести касательную, чтобы . Тогда x1
будет первым приближением корня x*.
Если f(b) и имеют
одинаковые знаки (случаи I, II), то касательную следует провести в точке B.
Тогда интервал изоляции корня x* можно сузить до [a; x1].
Если же f(a) и
имеют
одинаковые знаки (случаи III, IV), то касательную следует провести в точке A.
Тогда интервал изоляции корня x* можно сузить до [x1; b].
К новому интервалу изоляции применим тот же прием проведения касательной и так далее, находя x2,: ,xn.
(11)
Корень x* может быть вычислен
методом касательных с любой степенью точности. Погрешность, как и в методе
хорд, , где m -
наименьшее значение модуля производной
в интервале
[a;b].
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.