Нормальные системы дифференциальных уравнений

                                                     Лекция 10

            Нормальные системы дифференциальных уравнений

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система в  вида

                                                                           (1)

Здесь – искомые функции, – независимая переменная, – заданные функции.

Введя в рассмотрение векторы

можем записать систему (1) в векторной форме

.                                                                                                        (1^/)

Задача Коши для системы (1) или (1^/) ставится следующим образом: найти решение системы, удовлетворяющее начальному условию

                                                                        (2)

или

                                                                                                                 (2^/)

Теорема (существование и единственности решения задачи Коши для нормальной системы). Пусть все функции  непрерывны вмести со своими частными производными  в некоторой области , содержащей точку . Тогда существует интервал  и единственный набор дифференцируемых функций , определенных на этом интервале, являющихся решением системы (1) на и удовлетворяющих начальным условиям (2).

Общее решение системы (1) представляет собой совокупность функций таких, что  – решение системы и при этом по начальному условию (2) можно указать единственный набор  такой, что .

Заметим, что любое уравнение -го порядка  может быть сведено к нормальной системе дифференциальных уравнений вида (1). Действительно, полагая  , получим

.                                                           (3)

Система (3) есть частный случай системы (1).

Отметим, что сведение нормальной системы к одному дифференциальному уравнению -го порядка возможно далеко не всегда. Случаи, когда такое сведение возможно, будут рассмотрены ниже.

       Линейные системы дифференциальных уравнений. Общая теория.

Линейной системой называют нормальную систему дифференциальных уравнений вида

                                                                    (4)

Если в формуле (4) все , то система называется однородной.

Также как и для линейного уравнения -го порядка можно показать, что условия теоремы Коши для системы (1), в которой все входящие в нее функции определены на интервале , сводятся к требованию непрерывности  на этом интервале. При этом решение с начальными условиями  для произвольных  и  продолжаемо на весь интервал .

В дальнейшем, кроме обычных операций матричной алгебры, нам понадобятся операции дифференцирования и интегрирования матриц.

Производной от матрицы  называется матрица . Интеграл от матрицы определяется так:

     .

Используя матричные обозначения, запишем систему (4) в виде

.                                                                                               (6)

Начальные условия в матричной форме будут иметь вид (2^/).

Однородная система

Пусть . Тогда получим однородную систему

                                                                                                       (7)

Пусть задано  столбцов

.

Составим из них матрицу

                                                                             (8)

Наряду с уравнением (7), левая и правая часть которого суть вектор-столбцы, рассмотрим уравнение

,                                                                                           (9)

левая и правая часть которого –  матрицы.

Теорема 1. Если  – решения уравнения (7), тогда матрица , определенная формулой (8), есть решение матричного уравнения (9). И обратно,  если  – решение матричного уравнения (9), то каждый столбец этой матрицы есть решение уравнения (7).

Для доказательства справедливости утверждения теоремы 1 достаточно расписать уравнение (9) поэлементно.

Столь же просто можно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Теорема 2. Если  – решение уравнения (9), то , где , будет решением уравнения (7), а  , где  -матрица, также будет решением уравнения (9).

Определение. Будем говорить, что вектор-функции  линейно зависимы на интервале , если существуют постоянные   не все  равные нулю такие, что

.                                                                    (10)

Если из соотношения (10) следует, что , то вектор-функции  линейно независимы на .

Пусть матрица  определена формулой (8), . Тогда соотношение (10) принимает вид

                                                                                          (10^/)

Определение. Функциональный определитель  называют определителем Внонского (вронскианом) системы вектор-функций .

Теорема 3. Если решения  уравнения (7) линейно зависимы на интервале