Двумерные непрерывные случайные величины (двумерные векторы). Функции распределения и плотности распределения

1.7. Двумерные непрерывные случайные величины

(двумерные векторы)

1.7.1. Функции распределения и плотности распределения

Будем рассматривать двумерный случайный вектор, то есть двумерный вектор, каждая составляющая которого есть непрерывная случайная величина:

.

Как и ранее, случайный вектор и его случайные компоненты мы обозначаем греческими буквами, а значения, которые может принимать вектор и его компоненты, будем обозначать соответствующими латинскими буквами, то есть будем считать, что случайный вектор  принимает значения

.

Функция распределения двумерного случайного вектора есть вероятность совместного осуществления событий:

Плотность распределения, как и ранее, есть производная от функции распределения по обоим аргументам:

, поэтому

.

Область интегрирования показана на рис. 23.

В силу монотонности вероятностной меры функция распределения - неубывающая функция по каждому аргументу, а потому плотность распределения есть неотрицательная функция двух аргументов, которая описывает некоторую поверхность над координатной плоскостью. Эта поверхность приближается к плоскости XOY при удалении значений аргументов от начала координат по любому направлению. Понятно, что

.

Если по одному из аргументов ограничений нет, то

.

.

Таким образом мы получили маргинальные (частные) функции распределения  и . Дифференцирование этих функций по их аргументам, то есть дифференцирование соответствующих интегралов по их верхним пределам, по определению, дает маргинальные (частные) плотности распределения:

,   .

Определим условную функцию распределения, то есть функцию распределения одной из случайных величин при условии, что другая случайная величина принимает некоторое конкретное значение, например,

.

Выделим на координатной плоскости область, показанную на рис. 24.

Вероятность того что случайный вектор принимает значения из этой области, равна . В соответствии с формулой для условной вероятности из п. 1.2.3

.

Условная функция распределения получается в результате предельного перехода:

.

По теореме о среднем, внутри интервала   найдется точка , такая, что

, поэтому

.

Условная плотность распределения есть производная от условной функции распределения:

.

Аналогично

.

Обычно обозначают  и . В этих обозначениях  из полученных формул следует:

,   .

С учетом полученных соотношений перепишем формулы для маргинальных распределений в виде:

, .

Это формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин.

Поскольку  = , получаем формулу Байеса для непрерывных случайных величин:

.

Если x и h независимы, то ,  и поэтому .

Справедливо и обратное, то есть, если , то из этого с необходимостью следует независимость x и h.

Признак независимости случайных величин: две случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их совместная плотность распределения может быть представлена, как произведение маргинальных плотностей распределения этих величин (см. также п. 1.2.3).

1.7.2.Числовые характеристики

Моменты случайных величин определяются, как и ранее, формулами

- начальные моменты k - го порядка :

,

.

- центральные моменты k - го порядка:

,  .

Среди этих моментов самыми употребительными являются математические ожидания   и дисперсии  , . Математическое ожидание случайного вектора есть вектор, компонентами которого являются математические ожидания соответствующих составляющих:

.

Из условных моментов выделим лишь первые начальные (условные математические ожидания) и вторые центральные (условные дисперсии):

, ,

,

.

Как и ранее, во всех случаях

,              ,

,            .

Для двумерных случайных величин вводятся смешанные моменты:

- начальные порядка k, r

,

-центральные порядка k, r

.

Из них наиболее употребительным является центральный смешанный момент  порядка (1, 1),  который называется ковариацией и обозначается, как cov(x, h):

.

Выясним связь между этим и начальным смешанным моментом того же порядка.

.

В итоге получаем, что

Если случайные величины x и hнезависимы, в соответствии с признаком независимости, сформулированным выше,

=, то есть мы видим, что двукратный интеграл в этих условиях преобразуется в произведение однократных интегралов, каждый из которых равен нулю. В самом деле,

.

Поэтому при условии независимости случайных величин x и hих первый центральный смешаный момент или ковариация равна 0.

В случае взаимнооднозначной зависимости между x и h, например, линейной