Двумерные дискретные случайные величины. Распределение вероятностей. Совместное распределение вероятностей

1.4. Двумерные дискретные случайные величины

1.4.1. Распределение вероятностей

Будем рассматривать двумерную случайную величину, как двумерный случайный вектор

.

Компонентами вектора  являются дискретные случайные величиныx и h, которые могут принимать значения  и  соответственно. Реализации вектора  будем обозначать через .

При каждом испытании компоненты вектора  могут принимать значения  с вероятностью совместного осуществления двух событий . В дальнейшем мы будем пользоваться упрощенными обозначениями этой вероятности в виде  или еще проще - .

Кроме того заметим, что события  образуют полную группу попарно несовместных событий. То же самое можно утверждать и о событиях .

Представим совместное распределение вероятностей  в виде следующей таблицы.

События , , ...,  не пересекаются, а их объединение есть не что иное, как событие . Поэтому, суммируя элементы этой таблицы по строкам, в соответствии с аксиомой аддитивности (см. п. 1.2.2) получим значения вероятностей . По этой же причине суммирование элементов таблицы по столбцам даст значения вероятностей .

Тот же результат мы получим, если определим условные вероятности

, 

и поскольку события  и  образуют полные группы попарно несовместных событий,   применим формулу полной вероятности

,

.

Сумма всех вероятностей равна                                                                                       .

Тем самым мы получили маргинальные (частные) распределения случайных компонент x и h(см. также п. 1.3.1) :

,            .

Признак независимости случайных компонент вектора : случайные компоненты x и hвектора  независимы тогда и только тогда, когда их совместное распределение вероятностей может быть представлено, как произведение маргинальных (частных) распределений (см. также п. 1.2.3):

.

1.4.2. Числовые характеристики

Числовые характеристики, а именно, моменты отдельных составляющих вектора  определяются через маргинальные (частные) распределения точно так же, как это делалось для одномерной (скалярной) дискретной случайной величины:

-начальные моменты k - го порядка

, , и, в частности, математические ожидания

,.

- центральные моменты k - го порядка

,

, и, в частности, дисперсии

,

.

Для составляющих случайного вектора определены смешанные моменты:

- начальные моменты порядка k, r

,

- центральные моменты порядка k, r

.

Особенное значение для дальнейшего имеет центральный смешанный момент порядка 1, 1, который называется корреляционным моментом или ковариацией:

.

Для того, чтобы установить соотношение между центральным и начальным смешанными моментами раскроем скобки в последнем выражении и выполним несложные преобразования:

.

Окончательно получим:   .

Если x и h независимы, то

.

Но, как было установлено в п. 1.3.3,  и , поэтому центральный смешанный момент  независимых случайных величин равен нулю. Однако, из того, что =0 независимость случайных величин x  и h , вообще говоря,не следует. О случайных величинах, корреляционный момент которых равен нулю, говорят, что они некоррелированы. Для оценки степени коррелированности случайных величин в приложениях удобнее использовать безразмерный коэффициент корреляции , значение которого не зависит от масштаба, в котором выражены значения случайных величин:

.

С целью определения диапазона значений коэффициента корреляции рассмотрим крайний случай взаимнооднозначной зависимости между x  и h, а именно, допустим, что h = ax + b. Другой крайний случай, а именно, независимость x  и hрассмотрен выше в настоящем пункте.

Из предположенной линейной зависимости следует (см. также п. 1.3.4):

,     ,      

.

После простых преобразований получим:

,

.

Таким образом, мы установили, что коэффициент корреляции не превосходит