Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья. Корни полиномов числителя и знаменателя. Комплексная плоскость корней

Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья

Передаточную функцию звена (системы автоматического управления)  можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений  (нули) и   (полюса).

.

Если в передаточной функции произвести замену  , то получаем   , называемое частотной характеристикой звена (частотный , комплексный коэффициент передачи звена, АФХ).

Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже.

Корни полиномов числителя и знаменателя можно изобразить на плоскости.

Комплексная плоскость корней    и   :

Отсюда:

1. Корень  расположен в правой полуплоскости, то есть  ReS_e>0 .

2. Корень  расположен в левой полуплоскости, то есть  ReS_k<0 .

3. Углы наклона векторов  и  таковы, что   j_k<j_e, причем , .

Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном.

Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено.

У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между  их частотными характеристиками.

То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена.

Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые.

Типовые звенья. Характеристики звеньев

Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями.

Минимально фазовые звенья:

1.  Идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка);

2.  Реальное усилительное звено (апериодическое, инерционное первого порядка);

3.  Идеальное дифференцирующее звено;

4.  Реальное дифференцирующее звено;

5.  Идеальное интегрирующее звено (интегратор);

6.  Идеальное форсирующее звено;

7.  Звенья второго порядка:

·  Апериодическое (вообще-то это комбинация двух апериодических звеньев первого порядка);

·  Колебательное;

·  Консервативное.

Не минимально фазовые звенья:

1.  Звено чистого запаздывания (особое звено с неограниченным изменением фазы);

2.  Квазиапериодическое звено;

3.  Квазиколебательное звено.

Идеальное усилительное звено

Это делитель напряжения, реостат - идеальное звено, если пренебречь его индуктивностью.

Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции :    ;  

Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как  ;  ;

Фазо-частотная характеристика  ФЧХ звена:    ;

Амплитудо-частотная характеристика АЧХ: ;

Логарифмическая амплитудная (амплитудо-частотная) характеристика ЛАХ звена: .

Переходная характеристика  ℒ.

Весовая функция (импульсная переходная характеристика)  .

Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках:

В электромеханических системах типичным примером идеального усилительного (безинерционного) звена является датчик – преобразователь скорости вращения в напряжение, – тахогенератор.

Реальное усилительное звено

Математические модели данного звена имеют вид:

дифференциальное уравнение:   ; соответствующая ему передаточная функция: ; частотные характеристики:

 - АФЧХ;

 - ВЧХ;     - МЧХ;   причем  ,    .

Следовательно,  (АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости.  Кроме того (выполнили деление).  Если подставить  в , то получим , откуда после преобразований:

; Þ  ; Þ  .

Имеем окружность радиусом ,  сдвинутую на  вправо по оси абсцисс.

Можно утверждать, что АФЧХ расположена, как показано на рис.:

Амплитудо-частотная характеристика  реального усилительного звена имеет вид:    

Фазо-частотная характеристика: , причем ,     .

На графиках представлены все полученные зависимости:

Логарифмическая амплитудо-частотная характеристика (ЛАХ):

.

Для ее построения выполним исследования. а) Зона низкой частоты. Н.Ч.

,     .

б) Зона высокой частоты. В.Ч.   

,      ;     ;

Наклон характеристики в области высоких частот .

Изображенная на рис. логарифмическая характеристика в виде кусочно-ломаной линии