Свойства систем автоматического управления. Структурная устойчивость (неустойчивость). Годограф Найквиста

Свойства систем автоматического управления

Рассмотренная выше устойчивость (совместно с  критериями ее определения) не является единственным свойством систем автоматического управления. Системы характеризуются: запасом устойчивости, областями устойчивости, притяжения, качеством регулирования и другими характеристиками. Рассмотрим некоторые из них.

Структурная устойчивость (неустойчивость)

Структурная неустойчивость - это такое свойство замкнутой системы, при наличии которого она не может быть сделана устойчивой ни при каких изменениях параметров. Такая САУ является неработоспособной!

Рассмотрим систему с передаточной функцией  .

Пусть  . Годограф Найквиста для данной системы изображен на Рис.А. Устойчивость этой системы определяется значениями параметров   и . Рассматриваемая система является структурно устойчивой.

Пусть    .   (Рис.В). Устойчивость также зависит от параметров и . Система структурно устойчива.

Пусть    .   В любом случае (при любых значениях параметров) система будет неустойчива. То есть система является структурно неустойчивой.

В частном случае передаточная функция имеет вид  . При этом соответствующее характеристическое уравнение замкнутой системы: . Нарушен принцип перемежаемости корней и полюсов. Система неустойчива. Структурно неустойчива.

Система с передаточной функцией  - структурно неустойчива, так как для замкнутой системы , при этом коэффициенты , , , , - все положительны, но из условия   следует, что , откуда , или . То есть система неустойчива.

Система   также структурно устойчива. Здесь звено  - квазиапериодическое (статически неустойчиво). Характеристическое уравнение  замкнутой системы . Откуда можно получить два граничных условия:  и .

Для одноконтурных систем имеют место условия (Мейеров М.В.):

Пусть одноконтурная система состоит из:

- интегрирующих звеньев,

- неустойчивых звеньев,

- консервативных звеньев. Тогда при отсутствии в системе дифференцирующих звеньев она будет структурно устойчива в том случае, если   

В случае многоконтурных систем соотношения Мейерова необходимо применять к каждому контуру, входящему в систему.

Запас устойчивости

Факт обнаружения устойчивости САУ по ее математической модели не дает уверенности в работоспособности реальной системы.

Возможны неточности (погрешности), так как:

·  математическое описании системы идеализировано;

·  часто бывает произведена линеаризация звеньев;

·  неточность определения параметров;

·  изменение условий работы (по отношению к моделируемым).

Следовательно, необходимо иметь запас устойчивости.

При использовании критерия Гурвица запас определяется величиной предпоследнего минора:

Если   -  запас устойчивости отсутствует;   - запас имеется.

Запас устойчивости в системе характеризует степень устойчивости.

Запас устойчивости и степень устойчивости можно определить по расположению корней характеристического уравнения и по частотных характеристикам системы.

Аналогично можно определить запас устойчивости по логарифмическим характеристикам L(w) и j(w), применяемым при определении устойчивости по критерию Найквиста.

Рекомендуемые запасы устойчивости μ ≈ (30 - 40)^о,  ΔL ≈ (6 - 8) дБ.

Область устойчивости

На практике проектировщиков систем автоматического управления интересует пространство (область, пределы, диапазон) параметров, при которых системы является устойчивой. Множество значений параметров, при которых система обладает свойством устойчивости, называется областью устойчивости системы.

Для определения областей устойчивости имеется несколько методик.

1.  Метод использования критерия устойчивости Гурвица;

2.  Метод Д-разбиения;

3.  Метод корневого годографа.

К СВЕДЕНИЮ. Имеется критерий устойчивости Джури для дискретной САУ, который можно распространить на непрерывные линейные системы. Он интересен тем, что дает (n+2) неравенства, составленные из "устойчивости в пространстве параметров системы". Интересен также критерий В.И.Зубова, позволяющий построить область расположения корней при заданных значениях  коэффициентов характеристического уравнения.

Метод использования критерия устойчивости Гурвица

Область устойчивости по Гурвицу определяется с помощью использования равенств в условиях Гурвица вместо неравенств. Чаще всего определение границы искомой области может быть произведено при условии . (Смотри пункт "Определение критического коэффициента усиления"). Отсюда определяется зависимость интересующего нас параметра