Проблема устойчивости и колебательности моделей дискретных нелинейных систем автоматического управления

Современные проблемы автоматизации и управления

Лекции проф. для магистров

Лекция 9 (20. 11 2010),  оригинал 19. 11. 2009г

Содержание предыдущей лекции. Оцениваются возможности и область применения, изложенного в предыдущей лекции, критерия абсолютной устойчивости нелинейных ДСАУ А. Гелига. Подробно изложен "модифицированный" круговой критерий абсолютной устойчивости нелинейных ДСАУ В. А. Якубовича (СП б). Модификация критерия состояла в получении условий его применения для оценки устойчивости систем с двухполярной широтро - импульсной модуляцией, которые успешно применяются в силовой электротехнике и электромеханике. Описаны основные варианты использования кругового критерия устойчивости для моделей нелинейных ДСАУ с двухполярными ШИП, которые интенсивно используют в этих устройствах, в качестве усилителей мощности.

Глава 5. Проблема устойчивости и колебательности моделей дискретных нелинейных систем автоматического управления.

5.1 Исходные положения

Содержание вопросов, которые мы будем изучать в этой главе, связано также с проблемой абсолютной устойчивости нелинейных ДСАУ. Но в этих системах и их моделях могут существовать как режимы асимптотической, так и колебательной устойчивости. Поэтому мы выдели новую главу.

При асимптотической устойчивости система в равновесии приходит в начало координат, где все ее производные движения и сами движения будут равны нулю. Но есть еще режим "орбитальной устойчивости", когда по окончанию переходного процесса система переходит в автоколебательное движение и величина на входе нелинейного элемента δ(t) принимает значение:

δ(t) = δ(t + T), где T = const.

Величина на входе нелинейности повторяется с периодом Т. Здесь могут возникать различные режимы с постоянным периодом Т, либо с постоянной частотой ω. Такие режимы называются колебательными.

В нашей научной школе мы достаточно много занимались изучением этой интересной научной проблемы. ( См., например, работы (49) и (50).)

5.2. Обобщенная структура системы и основы критерия.

В этой главе мы продолжим изучение критериев абсолютной устойчивости нелинейных ДСАУ с использованием модификации критерия В. М. Пòпова. В качестве первоисточника используем нижеуказанную работу А.Х.Гелига*) Обобщенная модель  системы изображена на рис 1.9:

НЛЧ

            В этой лекции я постараюсь также конкретно показать Вам, мои уважа

                                                             y(t)             g(t)

 

F(σ)

f(σ)                                 σ(t)

 

Рис. 1.9.Модель нелинейной ДСАУ

НЛЧ непрерывная линейная часть, F(σ)статическая нелинейность.

емые слушатели, различия нашего представления "инженеров - прикладников" о предмете аналитического исследования и "теоретиков математиков", на труды которых мы постоянно опираемся в своих работах. Я неоднократно напоминал, что мы пользуемся различной с ними символикой и терминологией. Но различия не только в этом, а в наших базовых образованьях и, возможно, в  усвоенных (или сложившихся) способах мышления. В научных исследованиях (а диссертация магистра относится к такой категории работ) мы должны научиться не только "ссылаться", но и творчески использовать труды  теоретиков. Наши знания математики и теории управления вполне достаточны для решения таких задач. Итак, приступаем к разбору работы А. Гелига (*). Этим же символом будем отмечать и номера формул из этой работы. Основная из них (1*) записана автором так:

                                               (1*)

Здесь затухающая и постоянная составляющие (по А. Гелигу) собственных колебаний непрерывной линейной части  системы,  затухающая и постоянная составля

________________________________________________________________________________

*⁾ Гелиг А.Х. Метод усреднения в теории устойчивости нелинейных импульсных систем. Журнал АН СССР "Автоматика и телемеханика" №5, 1983 г.

ющие импульсной переходной функции НЛЧ, сигналы на входе и выходе нелинейности, названной автором  - модулятором. Последнее название удачно, поскольку здесь использована модель НДСАУ вида II (см. рис.5. 7 лекции 7) с нелинейным экстраполятором с широтно-импульсной или другими видами нелинейной модуляции.

Перепишем уравнение (1*) в знакомых нам символах и терминах (см. рис. 1. 9):

                                               (1. 9).

Здесь  переменная и постоянная составляющие собственных движений НЛЧ в ДСАУ.

Теперь вспомним начальные лекции по линейной теории управления, - регулярные сигналы [f(τ)=δ(τ)] и реакция на них модели линейной системы

                                                                                        (2. 9)

Итак, в формуле (1. 9)имеем:. Но что за остаток остался в этом выражении α ₀? В первоисточнике (*) указано, что для моделей НЛЧ с астатизмом. Убедимся в этом