Математическая модель сигнала в виде линейной комбинации функций Хевисайда. Спектр сигнала в базисе Уолша

Записать математическую модель сигнала в виде линейной комбинации функций Хевисайда, построить временной график

 - амплитудное значение сигнала,

 - продолжительность одного импульса,

 - функция Хевисайда

Найти спектр сигнала в базисе Уолша, построить спектральную диаграмму

В данном РГЗ имеет смысл рассматривать только 8 первых функций Уолша.

первая функция Уолша         

вторая функция Уолша          

третья функция Уолша          

четвертая функция Уолша              

пятая функция Уолша           

шестая функция Уолша                   

седьмая функция Уолша                 

восьмая функция Уолша                 

Следовательно, спектр сигнала в базисе Уолша выглядит следующим образом:

Нахождение спектральной плотности сигнала относительно ядра Фурье, построение графиков ее модуля и аргумента.

Модуль спектральной плотности:

Аргумент спектральной плотности:

Нахождение спектра периодической последовательности, полученной повторением данного сигнала, относительно комплексного базиса Фурье, построение амплитудной и фазовой спектральные диаграммы.

Нахождение автокорреляционной функции сигнала, построение ее графика

График автокорреляционной функции заданного сигнала имеет следующий вид:

Определение эффективной ширины спектра.

Эффективная ширина спектра – это диапазон частот, внутри которого сосредоточено 95% энергии сигнала, то есть:

Значение частоты – границы эффективной ширины спектра:

               .

На интервале от  до  сосредоточено 95% энергии сигнала

Нахождение сигнала, который получается из заданного, при воздействии фильтра с прямоугольной АЧХ и линейной ФЧХ, построение временного графика полученного сигнала

f_ср=22 МГц, S=0,65 рад/МГц

Для данного случая имеем:

Нахождение сигнала, который получается из заданного при воздействии RC-фильтра НЧ, построить временной график полученного сигнала

R=0.28 кОм, C=650 пФ

Импульсная характеристика фильтра НЧ имеет следующий вид:

, где , следовательно, сигнал на выходе можно представить как суммы сигналов – воздействий отдельных функций Хевисайда:

                          

          

          

Следовательно, сигнал на выходе цепи, при подачи на вход заданного сигнала:

Линейные инвариантные к сдвигу цепи.

Нахождение комплексной частотной характеристики цепи.

Построение графиков АЧХ и ФЧХ.

Согласно варианту РГЗ, задана следующая ЛИС-цепь:

с параметрами:

                                             

Для удобства преобразуем Т-образную схему в П-образную:

для данной схемы значения сопротивлений:

                             

Тогда комплексная частотная характеристика  для данной схемы:

, при подстановке значений получаем:

Модуль комплексной частотной характеристики для цепей есть АЧХ:

Аргумент комплексной частотной характеристики для цепей есть АЧХ:

Нахождение импульсной и переходной характеристик

Для простоты нахождения импульсной характеристики воспользуемся операторным методом:

произведем замену

        

     

             

Функция  аналитична на всей плоскости p за исключением конечного числа точек p₁, p₂, … p_n, являющихся корнями знаменателя. Данные точки, то есть корни уравнения, называют полюсами передаточной функции K(p). В нашем случае возможны два полюса:

                  

Переходная характеристика цепи вычисляется по формуле:

Импульсная характеристика цепи вычисляется по формуле:

В этих формулах  - функция Хевисайда.

Для нашего конкретного примера переходная и импульсная характеристики примут следующий вид:

Переходная характеристика:

Импульсная характеристика:

Нахождение отклика цепи на заданный сигнал.

Отклик на воздействие, как и ранее, найдем как сумму откликов на одиночные функции Хевисайда:

                                                    

                                                      

                                                      

отклик цепи на заданный сигнал имеет следующий вид: